超平面排列

首页 . 理学 . 数学 . 组合数学 . 计数组合学

/hyperplane arrangement/

条目作者郭龙

郭龙

最后更新 2022-01-20

浏览 170次

最后更新 2022-01-20

浏览 170次

0 意见反馈条目引用

向量空间 $V$ 中的有限个仿射超平面的集合 $\mathcal{A}$ 。

英文名称: hyperplane arrangement

所属学科: 数学

给定域 $K$ ，向量空间 $V=K^n$ 中的仿射超平面是如下形式的点集:

$\{\boldsymbol x=(x_1,\cdots,x_n)\in V \mid \sum_{i=1}^n a_i x_i = \boldsymbol b\}$

式中 $a_i$ 为域 $K$ 中的元素。在组合学中经常考虑 $K=\mathbb{R}$ 的情况。对于非零向量 $\boldsymbol\alpha \in V$ ,由 $\boldsymbol{\alpha} \cdot\boldsymbol x =\boldsymbol0$ 决定的超平面被称为线性超平面。换句话说，一个线性超平面是指 $n$ 维线性空间中的一个 $n-1$ 维的线性子空间。设 $\mathcal{A}$ 中的超平面形如 $\alpha_i \cdot \boldsymbol x= b_i$ ， $\alpha_i \in V$ ， $b_i \in K$ ， $1\leqslant i \leqslant n$ 。则 $\mathcal{A}$ 有如下的定义多项式：

$Q_\mathcal{A} (\boldsymbol x) = (\alpha_1 \cdot \boldsymbol x-b_1) \cdots (\alpha_n \cdot \boldsymbol x-b_n)$

落在 $\mathcal{A}$ 中每个超平面外的点形成的连通部分叫作 $\mathcal{A}$ 的区域。对区域的计数是对超平面排列的研究的起源之一。区域的数量用 $r(\mathcal{A})$ 表示。一个经典的结果是，处在一般位置的 $m$ 个超平面将 $n$ 维空间割成

${n\choose 0 }+{n\choose 1} + \cdots + {n\choose m}$

个区域。

在组合学中关心的超平面排列往往是具有某种规律或对称性的超平面排列。例如，辫子排列 $B_n$ 是下面 $n\choose 2$ 个超平面的集合：

$B_n: x_i-x_j =0, 1\leqslant i \leqslant j \leqslant n$

中国学者时俭益引入了下面的超平面排列，被R.斯坦利命名为时排列：

$x_i - x_j = 0,1$

截交偏序集是研究超平面排列的重要工具，定义如下：给定 $V$ 上的超平面排列 $\mathcal{A}$ ,所有非空的 $\mathcal{A}$ 的子集的交形成的集族记作 $L(\mathcal{A})$ 。在 $L(\mathcal{A})$ 上定义偏序关系：

$x\leqslant y \Leftrightarrow y \subset x$

在此基础上，可以定义 $\mathcal{A}$ 的特征多项式：

$\chi_\mathcal{A} (t) = \sum_{x\in L{\mathcal{A}}} \mu(x) t^{\dim(x)}$

这里 $\mu(x)$ 是偏序集 $L(\mathcal{A})$ 上的默比乌斯函数。

定义一个由 $\mathcal{A}$ 中每个超平面的法向量所张成的子空间 $W\subset V$ ，如果 $R\cap W$ 是有界的一个区域，则称 $R$ 是相对有界的，相对有界的区域数用 $b(\mathcal{A})$ 表示。T.扎斯拉夫斯基（Thomas Zaslavsky，美国，1945～）证明了如下结论：对于 $\mathbb{R}^n$ 上的超平面排列 $\mathcal{A}$ ，有：

$r(\mathcal{A}) = (-1)^n \chi_{\mathcal{A}} (-1)$

$b(\mathcal{A}) = (-1)^{rank(\mathcal{A})} \chi_{\mathcal{A}} (1)$

扩展阅读

STANLEY R P．An introduction to hyperplane arrangements．Geometric combinatorics, 389-496, IAS/Park City Math. Ser., 13, Amer. Math. Soc., Providence, RI，2007．