多元T2分布

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/multivariate T2 distribution/

条目作者彭斌

彭斌

最后更新 2023-04-18

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多元 $T^2$ 分布即Hotelling $T^2$ 分布，是将一元总体中服从 $t$ 分布的随机变量 $t$ ，其平方（ $t^2$ ）的分布推广到多元总体而获得。

英文名称: multivariate T2 distribution

所属学科: 现代医学

设 $X～N_p (0,Σ)$ ， $W～W_p (n,Σ)$ ， $n≥p,Σ>0$ ， $W$ 与 $X$ 相互独立，则随机变量

$T^2=nX' W^{-1}X$

服从自由度为 $n$ 的 $T^2$ 分布，记为 $T^2～T^2（p,n）$ 。若 $X～N_p (μ,Σ)$ （ $μ≠0$ ），则称 $T^2$ 的分布为非中心参数为 $γ$ 的 $T^2$ 分布，记为 $T^2～T^2 （p,n,γ）$ ，式中 $γ=μ' Σ^{-1} μ$ 。

$T^2$ 与 $F$ 分布关系为：设 $T^2～T^2（p,n,γ）$ ，则

$\frac{n+1-p}{np} T^2～F(p,n+1-p,γ)$

$T^2$ 分布的两条重要性质：

①设 $X_i(i=1,⋯,n)$ 为多元正态分布总体的随机样本， $X_i~IN_p (μ,Σ)$ ， $\bar X$ 和 $S$ 分别为该样本均值向量和样本协方差阵，有 $\bar X ～N_p (μ,Σ/n)$ ， $(n-1)S～W_p (n-1, \Sigma）$ ，且 $\bar X$ 与 $S$ 相互独立，则 $T^2=n(\bar Ｘ-μ)' S^{-1} (\bar X-μ）～ T^2（p,n-1）$ 。

②设 $X_i～IN_p (μ_i,Σ)(i=1,2)$ ，从总体 $X_1$ 、 $X_2$ 中取得样本量分别为 $n_1$ 、 $n_2$ 的两个随机样本，若 $μ_1=μ_2$ 则

$T^2=\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2} (\bar X_1-\bar X_2 )' S_p^{-1} (\bar X_1-\bar X_2 ) ～ T^2 （p,n_{1}+n_{2}-2）$

式中， $\bar X_1,\bar X_2$ 为两样本的均值向量； $S_p$ 为合并协方差阵， $S_p=\frac{n_1 S_1+n_2 S_2}{n_1+n_2-2}$ ； $S_1$ ， $S_2$ 分别为两样本方差阵。

扩展阅读

TIMM N H．Applied multivariate analysis．New York：Springer，2002．
高惠璇．应用多元统计分析．北京：北京大学出版社，2005．
何晓群．多元统计分析（第四版）．北京：中国人民大学出版社，2015．

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