交替最小二乘法缩写为ALS，而加权正则化交替最小二乘法表示为ALS-WR（alternating least-squares with weighted-λ-regularization）。由于量测数据中有时有缺失项，传统的矩阵分解SVD（奇异值分解）不方便处理这个问题，而交替最小二乘法能够很好地解决这个问题。对于的矩阵，交替最小二乘法旨在找到两个低维矩阵和矩阵，来近似逼近，即：

…（1）

式中为响应矩阵；为样本对隐含特征的偏好矩阵；为变量所包含隐含特征的矩阵；为矩阵的转置。实际中，一般取，也就是相当于降维了。这里的低维矩阵，有的地方也称为低秩矩阵。

为了找到使低秩矩阵和尽可能地逼近，需要最小化下面的平方误差损失函数：

…（2）

式中为样本的偏好的隐含特征向量；为变量包含的隐含特征向量；表示样本对变量的响应；向量和的内积是样本对变量响应的近似。

损失函数一般需要加入正则化项来避免过拟合等问题，使用L2正则化，所以上面的公式改造为：

…（3）

式中为正则化项的系数。

协同过滤就成功转化成了一个优化问题。由于变量和耦合到一起，这个问题并不好求解，所以我们引入了交替最小二乘法，也就是说我们可以先固定（例如随机初始化），然后利用公式（3）先求解，然后固定，再求解，如此交替往复直至收敛，即所谓的交替最小二乘法求解法。

具体求解方法说明如下：

先固定，将损失函数对求偏导，并令导数为0，得到：

…（4）

同理固定，可得：

…（5）

式中为的第行；为的第列；为的单位矩阵。

迭代步骤：首先随机初始化，利用公式（4）更新得到，然后利用公式（5）更新，直到均方根误差变RMSE化很小或者到达最大迭代次数，其中：

…（6）

上文提到的模型适用于解决响应矩阵的一般应用场景。

而ALS-WR通过置信度权重来解决响应权重不同问题：对于更确信样本赋以较大的权重，对于响应不明显的项，赋以较小的权重。ALS-WR模型的形式化说明如下：

ALS-WR的目标函数：

　　…（7）

…（8）

…（9）

式中为置信度系数。

求解方式还是最小二乘法：

式中为的对角矩阵；为的对角矩阵；。

在化学计量学领域，利用交替最小二乘原理，借助计算机工具及高级编程语言MATLAB等，已独自发展了重要的多元曲线分辨（MCR-ALS）、平行因子分析（PARAFAC-ALS）、交替三线性分解（ATLD-ALS）等算法，在复杂体系定性定量分析中已展现巨大应用潜力。