经过长期积累，在先秦已形成9个数学分支：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、赢不足、方程、旁要，称为“九数”。据刘徽（约225～约295）言，《九章算术》是从“九数”发展起来的，然而在秦始皇焚书坑儒及秦末战乱中散坏。经西汉张苍（前256～前152）、耿寿昌（前1世纪）先后删补而成为后世流传的文本。

《九章算术》9卷依次是：①方田。刘徽言“以御田畴界域”，主要是分数四则运算法则与各种面积公式及其例题。②粟米。刘徽言“以御交质变易”，以今有术（即今之三率法）为主，解决谷物交换中的比例问题。③衰分。刘徽言“以御贵贱禀税”，提出衰分术和返衰术，是按比例分配或按比例的倒数分配的算法，还有若干异乘同除问题。④少广。刘徽言“以御积幂方圆”，实际上是面积与体积的逆运算，其中最重要的是提出世界上最早的开平方与开立方法。⑤商功。刘徽言“以御功程积实”，其本义是土方工程工作量的分配算法，但后来人们更重视的是为计算土方工程工作量而提出的各种多面体和圆体的体积公式。⑥均输。刘徽言“以御远近劳费”，解决赋税的合理负担算法，实际上是更为复杂的衰分问题，以及各种算术难题。⑦盈不足。刘徽言“以御隐杂互见”，即今之盈亏类问题算法，以及应用盈不足术求解一般算术问题的方法。⑧方程。刘徽言“以御错糅正负”，即今之线性方程组解法，还提出建立方程的“损益”法，以及正负数加减法则。⑨勾股。刘徽言“以御高深广远”，含有勾股定理、解勾股形方法、勾股数组的应用，以及简单测望问题。

《九章算术》的主体采取术文统率例题的形式，也有一少部分采取应用问题集的形式，传本共含有约90条抽象性公式和算法，246个应用问题。其中分数理论、比例算法、盈不足术、开方法、线性方程组解法、正负数加减法则及解勾股形方法等都是具有世界意义的成就。它具有数学理论密切联系实际的风格，以计算为中心，其算法具有强烈的构造性、程序化和机械化特点，构筑了中国和东方数学的基本框架，为中国古典数学领先世界千余年奠定了基础。西汉之后《九章算术》一直是中国和东方学习数学的主要教材，隋唐起是算学馆的主要数学教材和明算科的主要考试科目。

然而，《九章算术》也有其不足。其分类标准不统一，有的章如方田、粟米、少广、商功、均输等五章按实际应用分类，有的章如衰分、盈不足、方程、勾股等四章按数学方法分类。有的章内容有交错，文不对题，如分数四则运算法则插入方田章，用今有术解决的异乘同除类问题却编入衰分章，均输章大多数题目不是均输问题，而是各种类型复杂的算术难题。个别公式有错误或不准确。体例不统一，有的章采取术文统率例题的形式，有的章既有术文统率例题的形式，又有应用问题集的形式，即使采取术文统率例题的部分，其体例亦各异。更重要的是，没有任何数学概念的定义和命题的推导。

为《九章算术》作注是中国古代数学著述的一种重要方式，然而大部分注释已失传，流传至今且最著名者有三国魏景元四年（263）刘徽《九章算术注》、唐初（7世纪）李淳风（602～670）等《九章算术注释》、北宋（11世纪上半叶）贾宪《黄帝九章算经细草》与南宋（1261）杨辉（约1238～约1298）的《详解九章算法》。其中刘徽注、李淳风等注释与《九章算术》一体行世。杨辉的《详解九章算法》则含有《九章算术》本文、刘徽注、李淳风等注释、《贾宪细草》和《杨辉详解》五种内容。

刘徽《九章算术注》原10卷，第10卷“重差”系刘徽自撰自注，南北朝起以《海岛算经》为名单行，为十部算经之一。刘徽注既有在割圆术和刘徽原理的证明中将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明、创造计算圆周率近似值的科学程序等数学创造，也有整理发展的传统出入相补原理、齐同原理、率的理论等内容，提出率是“算之纲纪”。它“析理以辞，解体用图”，提出了许多数学定义，全面论证了《九章算术》的公式、算法。论证中既使用了归纳推理，也使用了演绎推理。它纠正或指出了《九章算术》的许多错误或不准确之处。刘徽注奠定了中国古典数学的理论基础，标志着中国古典数学理论体系的形成。

李淳风等注释的水平远低于刘徽注，但保存了祖暅原理和解决球体积的方法，至为宝贵。

《贾宪细草》标志着中国筹算高峰，是宋元数学的代表性著作之一。贾宪在刘徽的基础上进一步抽象《九章算术》的算法。他提出贾宪三角，不仅将传统的开方法推广到任意高次，而且是解决宋元高度发展的高阶等差级数求和的有力工具。他创造增乘开方法，为高次方程数值解法成为宋元数学最为发达的分支奠定了基础。这两项成就都是欧洲数学家在18、19世纪才取得的成果。

《杨辉详解》为普及增乘开方法、发展高阶等差级数求和、改进乘除捷算法做出了贡献。

《九章算术》的版本差异和校勘主要体现在刘徽注中。1084年北宋秘书省刊刻了《九章算术》等汉唐算经，是世界上首次印刷的数学著作。1200年鲍澣之翻刻了秘书省刻本，是世界上现存最早的数学著作印本之一。明代数学落后，《九章算术》不仅没有新的刻本，宋本和各种抄本渐次散佚。明初到清中叶400多年间，南宋本只剩半部孤本，《永乐大典》本则藏于深宫（现已残缺），清同治的数学家甚至见不到《九章算术》本书。

清乾隆三十九年（1774），戴震在四库全书馆从《永乐大典》中辑录出《九章算术》，并加校勘，抄入《四库全书》凡7部，其文津阁本系据其正本抄录，其文渊阁本则据副本抄录，其副本又排印收入《武英殿聚珍版丛书》，副本做过修改。戴震后来看到半部南宋本，重加校勘，刻入微波榭本《算经十书》。戴震辑录校勘《九章算术》贡献甚大，然辑录粗疏，错校甚多，又在微波榭本中将自己的校勘冒充南宋本，造成版本混乱。

19世纪初李潢撰《九章算术细草图说》，以微波榭本为底本，提出若干新的校勘，亦有不少错校。

1963年钱宝琮亦以微波榭本为底本校点《九章算术》，收入《算经十书》，纠正了戴震、李潢若干错校，提出许多新的校勘，然亦有一些错校。

郭书春（1941～ ）以南宋本和戴震辑录本为底本，恢复被戴震等学者改错的南宋本、《永乐大典》本的大量原文，并纠正若干错校，1990年出版汇校《九章算术》，2004年出版“《汇校九章算术》增补版”，2014年出版《九章算术新校》。

《九章算术》本文早已被译成日、俄、德等文字。含有刘徽注的《九章算术》1980年才被川原秀城译成日文出版。含有刘徽、李淳风等注释的《九章算术》的外文译本有：1999年沈康身（1923～2009）等的汉英对照本《九章算术》（Nine Chapters on the Mathematical Art），2013年郭书春与道本周（J. M. Dauben）、徐义保的汉英对照本《九章算术》（Nine Chapters on the Art of Mathematics），2004年林力娜（K.Chemla）与郭书春的中法对照本《九章算术》（LES NEUF CHAPITRES：Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires）。《九章算术》还有捷克文译本。

图1　《九章算术》内页一

图2 《九章算术》内页二