剪切波变换

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/shearlet transform/

条目作者张小华刘红英

条目作者张小华

张小华

刘红英

最后更新 2025-01-04

浏览 165次

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通过对基本函数缩放、剪切和平移等仿射变换，生成具有不同几何特征的剪切波函数的多尺度几何变换。

英文名称: shearlet transform

所属学科: 信息与通信工程

剪切波对于包含 $C^{2}$ 奇异曲线或曲面的高维信号具有最优逼近率。对于二维信号它不仅可以检测到所有的奇异点，而且可以自适应跟踪奇异曲线的方向，且随着尺度参数变化，可精确描述函数的奇异性特征集合，即波前集，实现以经典多尺度分析描述高维信号中的几何奇异性，同时也为轮廓波建立数学理论基础。以二维信号为例，剪切波可以定义为：

$\begin{align} {\psi _{ast}}(x) & = {a^{ - 3/4}}\psi \left[ {M_{as}^{ - 1}\left( {x - t} \right)} \right] \\ & = {a^{ - 3/4}}\psi \left[ {{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & 0 \\ 0 & {\sqrt a } \\ \end{array}} \right)}^1}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & { - s} \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right)}^{ -1}}\left({x - t}\right)} \right],a \in {R^ + },s \in R,t \in {R^2} \\ \end{align}$

式中仿射矩阵 ${M_{as}}$ 可表示两个矩阵相乘，即 ${M_{as}}=AB$ ，式中矩阵 $B$ 为具有各向异性的抛物线型尺度矩阵， $A$ 为方向矩阵；参数 $a$ 、 $s$ 、 $t$ 分别代表剪切波的尺度、方向、位置。尺度参数 $a$ 的作用在于频带选择，剪切参数 $s$ 在于选择方向， $t$ 为位置。 $f({M_{as}}x)$ 可以解释为具有各向异性的缩放算子和剪切算子的综合算子，这也是 ${\psi _{ast}}(x)$ 称为剪切波的原因。与小波变换类似，剪切波通过对基本函数进行缩放、剪切和平移变换来构造剪切波函数族，因此可以在广义多分辨分析的框架中研究，并通过多维滤波器组的方法来实现离散化，建立类似Mallat算法的快速分解和重构算法。对于包含 $C^{2}$ 连续奇异曲线或曲面的高维信号，剪切波和曲波、轮廓波等多尺度几何分析工具均具有最优逼近率，在频域剖分方面和轮廓波类似。然而在构造形式上剪切波更简单，且可在广义的多尺度分析的框架下进行研究并具有坚实的数学基础。 $\left| {{{\hat \psi }_{as}}({\xi _1},{\xi _2})} \right| = \left| {{a^{3/4}}{{\hat \psi }_1}(a{\xi _1}){{\hat \psi }_2}[{a^{ - 1/2}}({\xi _2}/{\xi _1} - s)]} \right|$ ，则 ${\hat \psi _{ast}}$ 的支撑区间为 $\sup p{\hat \psi _{as}} \subset \left\{ {\left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right):{\xi _1} \in [ - 2/a, - 1/2a] \cup [1/2a,2/a],\left| {{\xi _2}/{\xi _1} - s} \right| \leqslant \sqrt a } \right\}$ 。 $a=0.3，s=0，t=0$ 时剪切波的时域和频域如图1和图2所示。

图1a=0.3，s=0，t=0剪切波的时域图

图2a=0.3，s=0，t=0剪切波的频域图

图3和图4给出剪切波在不同参数下所对应的剪切波的频域支撑区域以及梯形支撑区域中线与剪切参数的关系，从图中可以看出每个剪切波函数的频域支撑区域均为关于原点对称的梯形对，且随着尺度参数的增大，梯形逐渐变窄，穿过梯形的上下底的中心点的直线的斜率等于剪切参数 $s$ ，因此说 $s$ 决定剪切波的方向，具有较强的方向敏感性。剪切波变换已被应用于星点提取、图像处理等领域中。

图3 不同参数下的频域支撑区域