对于时间连续信号，可利用傅里叶变换获得其频谱函数，或由其频谱函数通过反变换得到原时间函数。用公式表示为：

…（1）

…（2）

式中。

在离散信号处理中，应将傅里叶变换的积分形式改变为离散傅里叶变换的求和形式，把连续傅里叶变换的积分区间化成离散傅里叶变换的求和区间。在时域的有限区间内的信号按等时间间隔抽样，得到个抽样值，。在频域的有限带宽内的频谱函数按等频域间隔抽样，即，得到个频率抽样值，。将记作，称为时间序列；并将记作，称为频谱序列。又知，把这些关系代入傅里叶变换式（1），将其离散化，并考虑到时域和频域上均为有限，即得到离散傅里叶变换对公式为：

…（3）

…（4）

由式（3）（4）可知，当给定时域信号序列的长度为时，计算频域上的一个抽样值，就需要进行次复数乘法运算和次复数加法运算；要得到的个抽样值，就需要进行次复数乘法运算和次复数加法运算。

从物理意义上看，非周期时间信号的频谱是连续的和非周期的。时间信号抽样之后成为离散时间信号，它的频谱就变为周期性的连续谱。对频谱函数进行抽样，则对应的时间函数就变为周期性的连续信号。同时对时间信号和相应的频谱函数进行抽样，则得到离散的和周期的时间信号函数和频谱函数，这样就构成了上述离散傅里叶变换对。

离散傅里叶变换除有周期性之外，还具有一般线性变换的性质。

①线性。若组合信号为几个时域信号之和，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换之和。

②选择性。离散傅里叶变换的算法可以等效为一个线性系统的作用。式（2）中的频域变换值代表不同频率的谱线输出，这意味着离散傅里叶变换算法对频率具有选择性。

③循环移位性。有限长度的序列可以扩展为周期序列，而可以看作是周期序列中主值区间内的主值序列，它的各个抽样序列好像放在一个等分的圆周上，序列的移位就相当于它在圆周上旋转，由此可依次重复地看到周期序列。这种序列的移位称为循环移位，或圆周移位。这种性质对计算循环褶积和循环相关很有用。

④其他。如序列的离散傅里叶变换对称性和循环褶积性（即圆周褶积性）等。

离散傅里叶变换有与傅里叶变换相类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心的作用。例如，通过计算信号序列的离散傅里叶变换可以直接分析它的数字频谱；在有限冲激响应数字滤波器的设计中，要从冲激响应求频率抽样值，以及进行它们之间的反运算等。