在刚体定点转动过程中，刚体或者其延拓部分上只有一个点始终保持固定不动，其余各点分别沿着以该固定点为中心的同心球面运动。支撑在固定球铰链上的刚体、万向联轴节中的十字头、万向支架中的陀螺转子等，都可以做刚体定点运动。自由刚体运动（例如卫星的运动）可以看作刚体随质心一起的平动（例如卫星的轨道运动）与绕质心的刚体定点转动（例如卫星的姿态运动），其中定点运动是研究自由刚体运动的重点和基础。

刚体定点运动在航空、航天等工程技术中有重要的应用价值，例如飞机、卫星的姿态运动就是绕质心的定点运动。刚体定点运动的常用描述有欧拉角、四元数、方向余弦矩阵等。著名的欧拉运动学方程给出了用欧拉角及其导数表达的刚体定点运动角速度在刚体固连坐标系中的分量，在飞行器姿态控制中有重要应用。

以固定点为原点建立两个直角坐标系，一个是固定不动的，简称固定坐标系；另一个与刚体固连的，简称固连坐标系。刚体运动可以用固连坐标系相对固定坐标系的运动来代表。固连坐标系与固定坐标系的关系可以用正交矩阵来表示，包含了刚体定点转动信息。根据正交矩阵的数学性质，它的9个元素要满足6个关系式，因此只能有3个是独立变化的。也就是说，刚体定点转动可以由3个随时间变化的独立参数确定。描述刚体定点转动的最常用的独立参数是欧拉角。

通过刚体固连坐标系和固定坐标系可以定义如下欧拉角（见图）：平面与平面相交于直线，称为节线，节线与轴的夹角称为进动角，轴与轴的夹角称为章动角，轴与节线的夹角称为自转角。这3个欧拉角是相互独立的，可以任意取值。如果给定3个欧拉角的值，就唯一确定了刚体在空间中的方位，通常假设，，。刚体定点运动（也就是固连系相对固定系的运动）可以用这三个欧拉角随时间变化来表达。

欧拉角示意图

从固定系到刚体固连系的转换可以通过3次按顺序的转动实现：绕轴旋转角，绕旋转角，绕旋转角。从转动轴的顶端向下看，3个转动都是按逆时针方向。这3个转动分别对应下面3个变换矩阵：

，，

从固定系到刚体固连系的转换矩阵，从固定系变化到固连系的刚体转动，就由这个正交矩阵给出。

在一般情况下，矩阵乘法是不可交换的，所以刚体的有限转动的顺序也是不可交换的。例如，和不相等，它们对应的刚体转动位移也不同，刚体从同一个初始方位转动将得到不同的方位。也就是说，一般情况下，经过两次以上有限转动得到的刚体方位依赖于转动顺序。因此，定点运动刚体的有限转动位移不能按照矢量运算法则相加。也就是说，定点转动刚体的有限转动位移不是矢量，不能用矢量表达，它本质上是二阶张量，可以用并矢表达。

当然，如果欧拉角和都是小量，忽略高阶小量后，和近似相等。因此刚体的瞬时转动（从初始方位在无穷小时间内的转动）是可以交换的，可以按照矢量运算法则相加。也就是说，定点转动刚体的瞬时转动位移（无穷小位移）可以近似看作矢量，近似地用矢量表达。

关于刚体定点转动位移的最重要结论就是著名的欧拉定理：有一个固定点的刚体的任意位移，都可以通过某个转动位移实现，该转动位移的转轴经过刚体的固定点。这个定理可以用初等几何方法画图给出证明，也可以先用数学语言表述为：正交矩阵有等于1的特征值，再简洁地给出数学证明。等于1的特征值对应的特征向量就给出了转动轴。

欧拉定理中的刚体位移，可以是有限转动位移，也可以是无穷小的瞬时转动位移。当然，对于瞬时转动位移，这是一个无须证明的显然结论。也可以认为，瞬时转动位移是有限转动位移在时间趋于零的极限，并由此给出刚体定点转动的瞬时角速度的一种直观解释。

刚体的角速度和角加速度是描述刚体定点运动的物理量，本质上是二阶反对称张量。可以利用二阶反对称张量的非零分量，确定相应的自由矢量（其大小、方向确定，但没有确定的作用点和作用线位置），称为角速度矢量和角加速度矢量。角速度矢量和角加速度矢量都是有大小、有方向，且满足以平行四边形法则作加法，但是并非对坐标变换具有不变性。因此它们是赝矢量或轴矢量。

用矢量表示角速度和角加速度，更方便计算，也更接近于点的圆周运动、刚体定轴转动的角速度和角加速度的描述。需要说明的是，对于点的圆周运动和刚体定轴转动，角速度的大小就是某个随时间变化的角度对时间的导数，而对于刚体一般运动和刚体定点运动，不存在随时间变化的一个明确的角度，其对时间的导数恰好就等于角速度的大小。

刚体的任意点的速度、加速度有如下关系：

式中和分别为点的速度矢量和加速度矢量；为从固定点指向点的矢量；为刚体的角速度矢量；为刚体的角加速度矢量。