板是由两个平面（称为表面）和垂直于表面的侧面所包围的物体，壳体是由内、外两个曲面（称为表面），有时还有垂直于表面的侧面所围成的物体。板壳的两个表面之间的距离与板或壳面内的特征尺寸，如矩形板的长、宽，圆板的直径（以表示）或壳曲面的特征曲率半径（以表示）相比是一个较小的量。与两个表面等距离的点的轨迹称为板壳的中面。在中面上每一点处作中面的法线，法线被板壳的两个表面所截得的线段长度称为板壳在该点处的厚度，以表示。中面为封闭曲面的称为封闭壳体，否则为开口壳体。开口壳体中面的边界是一条闭合曲线，由其上诸点作中面的法线，法线沿中面边界线移动的轨迹形成一个直纹面的侧面，它与壳体的两个表面包围的部分构成开口壳体。

板、壳和杆共同构成了结构力学的研究对象，这些薄壁元件是土木、航空航天、船舶与海洋工程、核能、石油化工、水工等多种工程领域中最常用的构件。与杆件不同，板壳在力学分析的意义上属于二维构件，在垂直于板和壳中面的载荷作用下，板的主要承载方式是两个方向的弯曲，板平面内的应力沿厚度呈线性分布；而壳主要以沿厚度均匀分布的壳面内应力（称为薄膜应力）承受外载，只是在壳边缘处以及壳中间有集中载荷作用处才有较大的弯曲应力。一般板和壳都以其中面的形状和厚度来描述其几何特征，而以应力沿厚度的合力（称为薄膜内力）与合力矩（称为内力矩）作为描述其中应力的基本变量。若建立中面内的正交坐标系（），与中面相垂直的坐标为轴（），则板壳中的内力与变形场是中面各点坐标（）的函数。

古典的平板理论曾有过两种解决问题的方法。第一种是法国的A.-L.柯西和S.-D.泊松在19世纪20年代提出的。他们将板中的所有位移和应力展开成坐标（从中面到研究点的距离）的级数，保留尽可能少的项，就得到了笛卡尔坐标下的薄板弯曲微分方程。泊松还在1929年正确地给出了板弯曲刚度的表达式，但是他对薄板边界条件的提法是每边3个。第二种方法就是经典的薄板和薄壳小挠度理论，这是建立在德国的G.R.基尔霍夫和英国的A.E.H.洛夫提出的假定基础上的，基尔霍夫指出：泊松所提的板边界3个边界条件是不可能同时满足的，正确的提法应当是每边2个边界条件。被广泛采纳的薄壳理论方程最早是由洛夫在1888年导出的，之后在他的《数学弹性理论》中又进一步叙述了薄壳理论。

弹性薄板与薄壳小挠度理论是近似的理论，它的基本出发点是其厚度与中面特征尺寸的比值或是一个小量，认为该小量的高阶量可以在方程中略去。基尔霍夫-洛夫关于薄板和薄壳有如下的基本假设。

①切平面应力假设。平行于板壳中面的各层互不挤压：

②直法线假设。变形前垂直于中面的直线段，在变形后仍为直线，且仍垂直于变形后的中面：

即假设板壳的横向剪切变形可以略去：

③法向位移（或称挠度）沿厚度的变化可忽略：

④对于薄板小挠度问题的假设。如果与板的厚度相比是一个小量，板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面无拉伸与剪切变形。此假设对于薄壳完全不成立。

在以上假设的基础上，对于板，可以导出以中面挠度为变量的四阶双调和偏微分方程，方程的非齐次项为作用于板面的法向载荷，包含了板的弯曲刚度这一参数：

式中为杨氏模量；为泊松比。上式也是壳体的弯曲刚度。该四阶偏微分方程和板边缘每边界点2个边界条件构成偏微分方程的边值问题，可以定解。

对于薄壳，有位移法和混合法两种方法构成定解问题。采用位移法，薄壳的中面位移、和满足一组偏微分方程组，若进一步消元，则可得到以其中面挠度表示的八阶偏微分方程。采用混合法，以应力函数的二阶导数表示壳体的薄膜内力，它们之间满足变形协调方程；以中面挠度的二阶导数表示壳体的弯曲内力，它们之间满足平衡方程；组成与的一组共2个四阶偏微分方程组。薄壳的每一边界点对应有4个边界条件，与上述八阶方程或四阶方程组共同构成了偏微分方程的边值问题，可以定解。

在船舶、航空航天、仪表等工程中，常需用到很薄的板与壳，此时涉及板壳的大挠度问题。

当板壳的挠度与其厚度相比不是小量时，对于板的假设④不再成立，必须考虑板的弯曲和板中面的拉压之间的耦合作用。此时，板壳由弯曲变形引起的转动项也不再被认为是小量。

板的大挠度理论的研究始于19世纪后期，基尔霍夫和法国的A.J.C.B.de圣维南先后导出了包含薄膜内力对板弯曲变形作用的方程。已被广泛应用的板的大挠度理论定解方程是由美籍匈牙利裔T.von卡门于1910年导出的。1938年，苏联学者X.M.穆什达里发表了对薄壳大挠度理论的研究成果。美国J.L.辛格和中国钱伟长建立了弹性薄板和薄壳的内禀理论，对板壳的非线性理论做出了贡献。

板壳大挠度理论与小挠度理论不同之处在于：认为挠度对的偏导数的二次项不是小量，在中面应变表达式中不能被略去；必须在板壳微元体变形（转动）后的状态建立力的平衡方程，即板壳微元体的转动对于薄膜力之平衡方程的影响不能被略去。

近代能源、石化等工业部门结构的运行参数（如压力）不断提高，使板壳厚度增大，已不能作为薄板或薄壳进行分析；另外，在航空航天工业中大量采用复合材料或夹芯材料，其横向剪切刚度远小于其拉伸和弯曲刚度，横向剪切变形不能被略去，必须弃去直法线假设。

美国E.瑞斯纳于1944年和R.D.明德林于1951年分别提出了考虑剪切变形的中厚板理论。两者的导出过程略有不同，但基本思路相同，即假设板中面的法线在变形后仍可用直线来近似，但不再垂直于变形后的中面，其偏离变形后曲面法线的转角是横向剪切变形所致。于是，明德林解除法线在变形后的转角与挠度偏导数之间的关联，成为另一独立的位移变量，这也成为此后有限元法构建中厚板位移单元的出发点，称为“一阶剪切变形单元”。

板壳理论的研究方法主要有解析方法和数值方法两大类。

20世纪前期和中期，许多著名的力学家着力于求得各类板壳问题的解析解。

求板壳理论的解析解归结为解偏微分方程的边值问题。主要的解法是采用分离变量法，即根据定义域、载荷性质和边界条件，确定问题所适合的完备函数族，将载荷、边界条件和解展开为该族函数的无穷级数，再按照收敛性与精度的要求截断级数的项数。常用的函数族有三角函数、贝塞尔函数等。

前人对于矩形板、圆板等问题，除很特殊的边界条件外，已经有很好的解析解，可以从各种教科书和手册中查到。

薄壳方程的复杂性给解析法求解带来了许多困难。由于工程中绝大部分常见的壳体，如球壳、椭球壳、圆柱壳、圆锥壳等，在连续分布的外载荷作用下，除边界附近一个小区域外，大部分壳体一般处于无弯矩的薄膜应力状态，此时可以将薄壳方程简化为四阶的无矩理论方程，对于前述工程中常见的壳体可以求解。如果要进一步求边界附近区域的应力（称为边缘应力），可以将前述薄膜应力场作为偏微分方程的一个特解，再进一步求齐次八阶偏微分方程的解，齐次解与特解共同满足边界条件。在20世纪中，已经有许多学者致力于给出各种不同壳体的解析解。

对于形状复杂、载荷和边界条件复杂的板壳结构，最常用的求解方法是有限元法。在20世纪后期，研究有限元法的力学家们为解决板壳单元的精度和收敛性问题，进行了大量研究工作，构造了各种类型的板壳单元。除传统的位移单元外，还有应力杂交元等。既有薄板和薄壳单元，还有中厚壳单元和非线性板壳单元。这些板壳单元被嵌入各种有限元商业软件，成为解决复杂工程结构力学分析的有力工具。此外，对于因几何或载荷等因素，使在局部区域板壳的基本假设不能满足的情况，可以通过有限元或边界元法的三维分析来求得局部应力的数值解。