机械结构包括一般的机械零件和结构件，如齿轮、轴、盘、支座、支架等。机械结构是否会在服役过程中发生失效，取决于其性能和服役载荷。载荷可以是力、应力、温度、腐蚀介质等；性能指的是抵抗载荷的能力。机械结构服役过程中承受的载荷通常是随机变量，机械结构的性能也具有分散性。与传统的、确定性意义上的安全系数相比，可靠度更明晰地表达了机械结构的安全裕度。

机械结构可靠性研究始于20世纪30年代，是从对机械结构的寿命及载荷、强度的概率分布形式的研究开始的。美国工程师A.M.弗赖登塔尔（Alfred Martin Freudenthal，1906～1977）于1947年提出了结构静强度可靠性的应力-强度干涉模型，并成为机械结构可靠度计算的基本模型。洪华生（Alfredo Hua-Sing Ang，1930～ ）针对不同结构可靠性评估的需要，提出了广义可靠性概念， C.A.康奈尔（Carl Allin Cornell，1938～2007）建立了计算结构可靠度的二阶矩方法，并由澳大利亚统计学家A.M.哈索弗（Abraham Michael Hasofer，1927～2010）等学者发展完善。二阶矩方法需要确定和求解结构功能函数，但很多实际结构的功能函数是高度非线性的，甚至没有显式的功能函数表达式。英国统计学家G.E.P.乔治（George Edward Pelham Box，1919～2013）等学者于1951年提出了通过构造二次多项式来模拟极限状态曲面的响应面法。对于多失效模式问题，C.A.康奈尔、洪华生等学者提出了一阶窄可靠度理论和二阶窄可靠度理论。20世纪60年代，A.M.弗赖登塔尔等学者基于应力-强度干涉理论，提出并完善了基于给定寿命下疲劳强度分布的机械结构疲劳可靠度评估方法。

A.M.弗赖登塔尔提出的应力-强度干涉模型本质上是载荷一次作用的机械结构可靠性模型，而机械结构在其服役期内，通常需要承受载荷的多次作用。谢里阳等学者提出了载荷多次作用、且材料性能持续退化结构的可靠性模型。机械结构可靠性理论仍处于不断发展、完善之中，在工程领域中的应用也日益广泛。

机械结构可靠度的计算基于应力-强度干涉理论。该理论认为，机械结构承受的应力小于机械结构的强度时，机械结构不会失效；反之，机械结构将会失效。由此，机械结构可靠度等于强度大于应力的概率。

图1所示为应力-强度干涉关系，其中和分别表示应力和强度的概率密度函数，阴影部分是所谓的“应力-强度干涉区”。一个很小的干涉区的存在对一般机械结构是允许的，这表明有失效的可能性，但其概率很小。根据应力与强度之间的关系，计算强度大于应力的概率（可靠度）的模型称为“应力-强度干涉模型”。

图1 应力-强度干涉关系图

如上所述，可靠度表达的是结构在规定时间内不发生失效的概率。对于一次性载荷作用下的静强度问题，载荷与强度通常都是不随时间变化的随机变量，因而这种情况下可靠度也是一个与时间无关的量。

若应力和强度都是定义在上且不随时间变化的连续随机变量，可靠度计算公式，即应力-强度干涉模型的数学表达式为：

式中表达的是在载荷一次作用下不失效的概率；对于磨损失效，可解释为指定时间内磨损量的概率密度函数，是允许磨损量的概率密度函数，是在指定寿命期内不发生过量磨损的概率；对于腐蚀失效，可解释为指定时间内腐蚀深度的概率密度函数，是允许腐蚀深度的概率密度函数，是在指定寿命期内不发生腐蚀失效的概率。由此，可以认为式中隐含着时间参数。

多数机械结构在服役期内会承受载荷的多次作用。若要将该式用于长期工作、随机载荷多次作用，但性能不退化的产品，其应力分布则应是其寿命周期内的最大应力的概率分布。获得这样的应力分布的方法是统计分析各载荷历程样本中的最大应力。

如果某机械结构服役载荷是各态历经的平稳随机过程，即每一个个体承受的都是同一个随机载荷历程，则有如下的载荷次作用下的可靠度计算公式：

若性能随载荷作用次数的增加逐渐退化，则可靠度表达式为：

式中为载荷作用次后结构的剩余强度。

在已知强度分布和载荷分布的情况下，根据积分公式计算机械结构的可靠度，通常需要通过数值方法求解。

为了便于工程应用，提高可靠度设计、计算的效率及精度，C.A.康奈尔等提出了二阶矩法，并经历了不断改进完善。假设机械结构强度随机变量，载荷随机变量为，那么机械结构的功能函数为：

定义为结构的极限状态方程，为可靠性指标。

如果，均为相互独立的正态分布随机变量，则机械结构可靠度为：

式中表示标准正态分布函数。

如果、为非正态随机变量，可以通过当量正态法，把非正态随机变量转化为等效正态随机变量，再求可靠度。

对于一些复杂的机械结构，获得其功能函数十分困难，甚至没有显式的功能函数，这时难以应用二阶矩方法进行可靠度求解。

响应面法是通过一系列确定性的试验或数值分析拟合一个响应面函数来模拟真实极限状态曲面函数，用以反映复杂结构的基本变量和结构响应之间的关系。

通常结构的响应函数可以表示如下：

这一结构响应函数没有解析表达式，但可以构造一个函数，即所谓的响应面函数来近似地表示真实的结构响应函数。响应面函数通常采用不含交叉项的二次多项式形式，如下式所示：

式中为基本变量数，，，为二次多项式的待定系数，一共有个待定系数。

采用合理的抽样方法得到基本变量的组样本点，通过试验或数值分析得到结构相应的N个样本点，得到了包含个方程的方程组，求解方程组得到个待定系数，进而确定由二次多项式表示的响应面函数。得到了响应面函数后，就可以应用二阶矩等方法求机械结构的可靠度。

蒙特卡罗方法又称随机抽样法或计算机统计模拟方法，其基本思想是：对于所求解的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的抽样来计算所求参数的统计特征，给出所求解的近似值。蒙特卡罗方法的缺点是为了得到足够精确的结果，需要进行大量的随机抽样。实际机械结构的失效概率通常很小，对于复杂机械结构可靠度计算工作量很大。

若结构的功能函数为：

在各自变量的定义域上随机抽样，设一共抽样组，统计的组数为，则结构的可靠度为：

现代机械结构形式越来越复杂，工作条件也多种多样，基于概率理论的机械结构可靠性分析、可靠性设计方法在工程实际中应用日益广泛。应用领域包括航空航天、交通运输、能源、化工、工程机械、机床等。例如，飞机结构件、发动机叶片、轮盘、汽车车架及传动系统零部件、机床主轴、刀具、全断面掘进机刀盘等的设计和评估，都用到了机械结构可靠性理论。机械结构可靠性理论的应用，能够使设计者更精准地进行机械结构设计，更准确地预测和评估机械结构的可靠性，可以使用户得到使用成本低、可靠性高的产品。