设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，那么对H中的每一个向量，在M中必存在唯一的，使得向量的范数取到在M中变化时的最小值，且向量必与M正交。其中称为在M中的正交投影。

正交投影定理中，对于闭线性子空间M，向量分解唯一，且。向量在线性子空间M上的正交投影是M中与距离最近的一个向量。例如下图中，一棵树在太阳下的影子（向量）可以看作三维空间（Hilbert空间H）的树（向量）在地面（二维平面M）上的投影，当太阳在树顶正上方时，影子的树顶到真实树顶之间的距离最短（等于树的高度，向量），这时的影子就是正交投影。

正交投影示意图

正交投影定理被广泛地应用于近似理论、预测理论、优化理论等领域。