律学作为独立的一门学科，起源于中国。“律学”一词，最早见于五代后周律学家王朴（905～959）的专著《律学》。早在周代《礼记》中，就提出了“五声六律十二管旋相为宫”的理论。自古以来，中国历代从事律学研究的音乐理论家，特别是20世纪以来的许多著名史学家、乐律学家著书立说，为律学的学科建设做出了卓越的贡献，并相继于各大音乐院校开设了律学专业课程。21世纪后，律学研究队伍的不断壮大，尤其是不少中青年学者的参与，结合多学科新的研究方法、新的研究手段的引入，给律学研究注入了新的活力，使中国的律学研究水平保持领先地位。1996年还成立了世界上唯一的律学专业学会——中国律学学会。

律学是音乐学与音乐声学的交缘学科，既是音乐学的分支学科，也是音乐声学的分支学科。音乐声学侧重于研究音与律的主、客观关系问题；律学则是运用定量、定性的分析方法，研究音乐形态所反映的音阶结构中乐音之间的数理逻辑关系。通过律学分析结果，可以看到不同文化属性的音乐形态之间，在基本音律结构上的不同特征，以此才能得到所以形成不同音律风格主要缘由的认知。

根据律学的理论性质，律学研究方向可分为理论律学和应用律学两大部分。理论律学是专门研究律学的基础理论，如律制的构成原理，乐制中音与音的数理结构关系等；应用律学研究范围比较广，凡需要应用律学分析手段来解决与音高相关的理论问题之外，还有对音律方面所产生的疑难问题做出合理解释的任务。

在特定文化背景下产生的音乐，用其他音乐文化背景下产生的乐器来演奏时，可能会破坏音乐原有的音律风格，这是由于不同地区或不同民族所使用的乐器采用不同的律制所造成的。出于音乐文化交流上的需要，在一定的地域范围内，通过对不同区域的音乐形态的分析，设计出一种能兼容而适应于该地区诸种音乐形态的统一律制，这是乐器制造方面不可缺少的重要环节，这也正是律学研究的主要对象与任务。

大量出土音乐文物的考古研究中，凡带有音响的乐器，一般都应用律学的分析方法，对它的音律形态特点，可能的音阶结构形式，以及当时的黄钟律高等做出判断。这方面的研究成果，往往对中国音乐历史的某些方面的重新认识，具有重要的意义。

对历史上曾经出现过的律制改革要求、主张、实施等事件的研究，也是律学对音乐历史发展脉络的分析、疏理、归纳的一个重要方面。在音乐历史上，有关律学的文献往往记述简略而难解，疑点较多，当前律学史的研究，主要集中于少数人物的典型事件，还有大量相关的文献和领域尚未开垦。由此可见，中国律学的研究，在相当程度上，与中国音乐历史的研究有着千丝万缕的联系。

在音乐理论研究中，运用律学分析方法对不同地区、不同民族的不同文化属性的音乐形态之间的分析比较，也成为民族音乐学中音乐比较、音乐分析等研究的一种重要手段。

律学所涉及的主要名词术语，主要有：音律、音程值、谐音列、普通音差、极大音差、律制、五度相生法、三度相生法、三分损益法、隔八相生、五度相生律、三分损益律、纯律、四分之三音、平均律、约律、律调结构、旋宫、还宫、音律形态、律管、管律、管口校正、弦律等。

音与律的统称。音与律是有着不同内涵的概念，音是客观物质振动在主观声觉上产生的感应物，而律是引起这种主观声觉的对应物。律可以用频率（赫兹）、周期（秒）、波长（米）、对数（分贝）、长度等各种单位来计量，故律，是可以计量的有纲量单位；音既然是生理听觉上产生的感应物，就一定带有主观性，经抽样实验规范后所得到的感觉量，如音程定量的单位“音分”等，均属无纲量单位。因此，音与律的关系，实际是主、客观相对应的关系。律制中律与律之间的结构关系，在一定程度上（即非绝对的）反映为乐制中音与音之间的音程关系。

从声学的角度看，音与律之间的主、客观对应关系，并非简单的几何级数变化关系，即非完全线性关系。人的生理听觉，在不同声区，接受声信号的听觉灵敏度是不同的，其感应程度的比例也不同，这是听觉器官的鼓膜以及内耳传导系统的频率响应特性所决定的。正常的生理听觉，由于频率响应的非线性特性的存在，在相同声压及频率同比情况下，不同音区所得到的音调感应有一定的差异，即同比的2个振动频率，在不同声区并不一定能得到完全相同的音程感觉。在不同人的生理、心理听觉情况下，同等参数的振动以及相同传播环境，主观音调感觉也会出现高低不同的差异。

听觉对于客观物理振动的音高感应程度还与所传播的速度、波形及声压有关，著名的多普勒效应正说明相同振动在不同的传播速度和声压下，音高感应是不完全相同的。所谓“感觉量比例于刺激量的对数”的费克勒法则（X为客观物理量，Y为主观感觉量）：Y=logX是把音的感觉量视作有纲量单位的结果，没有把客观物理量与主观感觉量之间的非直线性关系考虑进去。因此根据上述的听觉特性，有关音调的主客观之间的关系式Y=logX，是一个不完整的数学表达式，它表述的关系仅适合在同等声压情况下的中声区域。

是把与音程相对应的振动数比换算后，将音程给以量化的定值。在一定音组的范围内，它反映为音程的主观感觉量。当前通用的是，将一个八度音程细分为1200分级数的所谓“音分值”，单位：音分。具体换算方法：将音程的频率比X代入下式，所得Y为音程值。式中K，为实现八度音程所需分级数的转换常数。当八度音程细分为1200分级数时，K=3986.3137。改变Κ的值，可以改变八度音程内的分级数，来选择所需不同的音程分辨率。例如设八度Y为1.00分级数时，K=1/log2=3.32193，Y=K·logX。

管内空气柱或弦振动体的分段振动，产生基音上方的诸谐音构成的音列。理论上，诸谐音频率应是基音频率的倍频，所有相邻谐音之间的频率差均等于基频，属等差数列。弦乐器在演奏中得到的所谓自然泛音和人工泛音，正是人为地加强某一分段振动能力突现某一谐音的结果。除属板振动的乐器外，谐音列几乎是其他乐器产生音色所不可缺少的组成部分，谐音列中诸谐音的不同频率成分的不同组合，正是不同音色形成的主要因素。

大全音与小全音之间的律差，振动频率比数为81/80，22音分。

又称古代音差，指正律与变律之间的律差，即2律相距12个五度级的律差，振动频率比数为531441/524288，24音分。

是对乐制中诸音律的具体规定和约束。它主要应用对象是具有固定品位的乐器，对非固定品位的弦乐器除空弦散音外，不存在这样的约束力。自古以来，创立律制，是人们在音律方面规范固定品位乐器的一种音乐行为。即使今天制造带品位的乐器，其音律也要按照一定律制的标准来制作。律制的设计及其适应性，是依据一定区域范围内的音律形态特征来构思的，是一种约定俗成的规则。律制总是由一定的生律法来产生的，不同的律制，所以会存在不同的律结构特征，主要是取决于律制产生的不同相生方法。

以五度音程为生律的基本单元，一般指产生五度相生律所用的方法。朱载堉的“新法密率”中，也有用平均律五度为生律的基本单元，旋用五度相生的方法产生十二平均律。故五度相生法并非仅是五度相生律专用的相生法。

它以大三度、小三度协和音程为生律的基本单元，是产生纯律的一种方法。

将振动体原长度分成三份，舍其一，取其二，为“损一”，产生原音上方纯五度音；取其三，再添一份，为“益一”，产生原音下方纯四度音。最早详述此法的《吕氏春秋》中有“三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生”一说。三分损益法是三分损益律的生律法。

是前一宫律向后一宫律作五度相旋的称谓，有称“历八相生”。最早见于《隋书·律历志》和《乐书要录》，源于《淮南子》“音以八相生”一说。“隔八”，是指相距包括五度音律自身在内的八律而言。这是在十二律数限定前提下，仅在一个八度之内十二宫律循环相旋的一种方法。故此说纯属旋宫的用语，只有在十二平均律中才可能与律的相生同义。

它是以纯五度音程（702音分）为生律的基本单元，用五度相生法产生的一种律制。在音乐实践中，由于纯四五度的协和度比其他音程最容易获取，因此这种律制是古代单音音乐阶段绝大多数地区、国家、民族最早使用的一种律制形态。由它构成的自然七声音阶中，有大二度均为大全音（204音分），小二度（自然半音）均为古代小半音（90音分）的结构特征。它还可以简单地划分为两个音律结构完全相同的四音音列：

四音音列不同半音律位置的重新组合，即可发展为不同乐学结构的7种调式，古代希腊正是应用了这一结构特点，完成了由7种调式组成的七声音乐体系。

这是中国最古老，应用时间最长的律制形式。最早提及该律产生法的是管子《管子·地员》篇及吕不韦《吕氏春秋》。它是以黄钟为起始律，在一个八度内，以纯五度或纯四度音程为生律基本单元的一种律制形态，具有仅向上属方向发展诸宫律的特征，归属于五度相生律体系。在三分损益十二律的律制形态中，凡相邻律音的自然半音均为古代小半音（90音分），变化半音均为古代大半音（114音分）。在中国音乐历史上，除得到广泛应用的三分损益十二律外，还尚有京房三分损益六十律、钱乐之三分损益三百六十律、蔡元定三分损益十八律等不同主张的律制形式。

一种自然律。在西欧，产生于复音音乐时期三度、六度和声对位的应用中；在大、小调体系形成的主音音乐时期，功能和声理论的确立，使纯律理论得到了进一步发展。基于西欧大、小调体系的纯律理论是建立在和声三度、六度协和基础上，那大、小调体系的音乐中同一调性内所用到的诸音律，理应是建立于相邻和谐的三度链轴上的。因此，乐学意义上的七声音阶，实际在古典主义音乐时期的主调音乐应用中，每个调可能涉及10个以上的律。纯律，实际上并不存在约定俗成的律制，因它至今还没有像钢琴或其他所需要做出相应律规定的带品位乐器。

中国的音乐实践中，纯律的应用也有相当长的历史，例如战国时期双音编钟（如曾侯乙编钟）所存在的音律形态，反映了在当时单音音乐实践中就存在纯律应用的可能性。又，汉魏以来琴的艺术实践中，从调弦法以及徽位泛音的应用等方面也体现了它的存在。虽然它们的应用，在中国音乐中还仅仅是局部的，或还只能说有纯律的因素，但它确实曾存在于不同于西欧而具有中国艺术特色的音乐品种中。以上应用的两种情况，正反映了中国早期的清商音乐与纯律有着密切的依存关系。

经过中国的一些学者的田野调查和实验分析证明，中国的民间音乐中，特别是口弦音乐及一些民歌小调等音乐中也含有纯律的因素。

产生于波斯和阿拉伯音乐中的一种特征音程，它们分别处于音阶的d～f音及g～^bb音之间的一个中立三度音e和中立六度音a，它们分别距d或g音约151音分（频率比12/11），相当于204音分的大全音的四分之三而得名。

将一个八度音程均分为若干份均程的律制。缺省情况下，通常指目前世界通用的十二平均律。平均律是等比数列，产生的途径和方法很多，最简单的方法是将八度音程的振动比2，以音列有若干律数即开若干次方，就能得到该律制中所设最小音程的振动比值，再连乘该最小音程的振动比值，可分别得到音列中针对起点基准为1的其他音程的振动比值。平均律中，凡相同音程之间都为无律差的等音程。

十二平均律的产生，在西欧，是为适应专业音乐创作发展中调性应用手段更高要求的需要，以便在调性展开到极远关系调后能迅速回归到原调上来，纯属于应用律学研究的结果；而在中国，却旨在追求如何能在理论研究方面突破在十二律数限定下仲吕可重返黄钟的难题，完全属于基础律学的理论研究。前者为了解决纯律应用实践上的需要，而后者是为了解决理论方面的需要。因此，十二平均律的主要功能是，当音乐无须较长的调性转换过渡时，它能瞬间使极远的关系调转换为较近的关系调。

平均律是人为的一种律制，它的应用，除专为钢琴等带品位的乐器所创作的曲调外，当其他原有的曲调在平均律乐器上移植时，在原曲调的音律风格的保持方面将会产生不利的影响。十二平均律由于十二律数的限定，调性对比的幅度也会变得相对狭窄，因此在调对置的表现力方面，比起有些律制有所逊色。在非品位的弦乐器或通过不同指法和改变吹奏口风可得到多种同音异律的管乐器的音乐实践应用中，演奏者为追求理想中的音乐风格和音准，一般会回避使用平均律；只有当在较远关系调的转换过程中，才会利用平均律的原理和等音观念，来获取变远关系为近关系过渡的捷径。因此，平均律作为一种中介、中庸性质的律制，是不可能成为被所有人都接受的终极律制。

以一种律制精确的理论数据为基础，并根据当时计量检测科学水平所能及的现状，为乐器或标准器制作品位所需要而切实可行的具体律值。例如：汉代刘安《淮南子》取寸的小数1位，第2位四舍五入；五代后周王朴给律准的数据取寸的小数2位；明朱载堉取寸的小数3位等。

有具体律数据为依据的调结构。律学意义上调的音阶结构，总是与一定律制情况下的律列结构相关联。在同一律制的范围内，建立于同乐制下不同高度的相同结构音阶，可能在律的结构方面有一定的差异。因此，同一乐学结构的诸调音列，它们的律列结构，不一定完全相同。除平均律外，几乎所有律制都存在这类问题。

调对置是音乐发展中比较常用的对比手法之一。音乐发展到一定阶段，同一曲调结构的音乐（重复性），在不同高度上重复出现时（对比性）所产生的变化，形成了调色彩变化，这正是音乐中横向对比的一种表现手法之一。这种表现手法在西欧的专业音乐创作中，曾经得到了充分发展和广泛应用。在十二平均律产生前，当调对置的对比手法发展到较为繁复程度时，在任何律制的使用中，有限品位的乐器总是难以满足音乐在律调结构上的完美要求，此时就会出现同一音乐在移调使用后，出现前后不相同的音律结构情况，这就是旋宫转调所引起的一个律学问题。

中国在很长的音乐历史发展过程中，主要使用由三分损益法产生的三分损益十二律。在仅用十二律的情况下，所能得到的十二律均的宫音阶结构是不完全相同的。按照五度相生的顺序，黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟前6个宫均的音阶为相同的古代音阶律结构，即均列中凡相邻大二度都为大全音，相邻小二度都为五度相生律小半音的结构特征。其余6个宫均的律列结构不仅与前6个宫均的古代音阶的律列结构不同，它们相互之间的律列结构也不尽相同。因此，三分损益十二律所产生的十二宫均的音阶律结构中，实际有7种不同的律列形态（详见例1中的数据比较）。在这7种不同律列结构之间的宫调转换，音乐就会出现音律风格上的差异和调的音阶律结构不统一所形成的不适感，尽管它们的共同音仍均为同律音。例1（单位：音分）

纯律所构成的同类调式音阶，似乎它们的律列结构在理论上应该有相对的统一性，因它们都是统一于三度音程谐和的基础之上的。但从律学的角度来看，此刻它实际应用到的律数，已超过乐学所显示的7个音级数的限定。一般在有和声使用的单一调性音乐中，所涉及的律数有的可能多至10个以上，出现律的数量多少，还与音级和弦（包括正、副和弦）的使用情况，以及与和声配置、声部进行等方面有关。因此纯律音阶的律列结构，在不同应用情况下（如带品位的铜管、木管乐器演奏中），也存在着多种结构的可能性，有时比五度相生律更为复杂。

根据不同应用场合有两层含义：①指在音乐进行中，宫中心的转移；②律制产生过程中，由前一宫律向后一宫律相生的称谓。

前者与西欧大小调音乐理论中的转调概念有相似之处。宫中心的转移，会引起调式中心的转移，但非同类调式之间的中心转移，不一定完全会引起宫中心的转移。中国的旋宫理论，是从调式转换概念中进一步抽象形成的，是可以超越调式而独立存在的，它不完全等同于西欧的转调概念。

理想中的旋宫，新调在律学结构上要求与原调保持一致，两调之间的所有共同音都要求为共同律音。但在三分损益十二律的限定下，在有些宫调之间的对置中，是无法同时实现这两方面的一致的。当旋宫到比较远的宫均关系时，虽然所有共同音都为同律音，但二宫均之间的结构可能已完全不相同了；在非品位的弦乐器中，虽然可以真正做到不同宫调之间在结构上保持相对的一致性，但二宫调之间的某些共同音，可能已是非共同律音，并且在相继多次的旋宫后，所涉律音已远远超出十二律，有时已不能回到原始调。类似的问题，在西欧的大、小调体系，或其他音乐体系的转调过程中都不同程度地存在。

在三分损益十二律的旋宫过程中，最后1律的仲吕宫到起始律黄钟宫的相旋，能像其他相邻五度关系宫均之间那样自如地相旋时，可谓还宫。仲吕宫到黄钟宫是相距11个五度级的宫调关系，属极远关系调，所以这种律制是无法完全做到还宫的。理想中的循相为宫，要求仲吕宫到黄钟宫能转换为一级关系调。在一个八度内只限定为十二律数情况下，任何非平均律的律制，都存在不能还宫的问题。因此以上所要求的还宫，也只有在十二平均律的等音关系中才能实现。

是具体音乐在经过律的测试、分析、抽象、规范后的基本形态。音乐进行中所客观存在的音律自然形态是动态的，没有绝对的稳定性，短时的稳定也是相对的，它们不可能完全等同于已经抽象和规范后的律形态。音律形态，在同一地区、国家的不同民族，可能有不同的音律形态特征；同一民族，同一乐种，不同流派等也可能有不同的音律形态特征。

相同的音乐形态，由于用不同的乐器演奏，实际得到的音律形态也会因乐器调律等方面的差异而有所不同。由此引出了管律、弦律、钟律、琴律等不同律形态特征，多是由于这些乐器的定律、定弦、演奏等不同方法所导致。

中国古代与度量衡有着密切关系的定律器。历代王朝都以特定的律制和经校正过的12支律管作为宫廷保存的标准器。制作律管的材料有竹、铜、玉等，一般为12支管，每管1律，与律制中的12律相对应。它的主要功能是：将12律的音高，以及以黄钟首律的长度作为度量衡的标准长度保存起来，以留日后其他乐器的调律和度量衡器具的比较、对照、修正所用。中国古代黄钟律管长度的确立、制定和保存，不仅有保存标准音高的意义，更有为古代朝廷中央集权统一度量衡标准的意义。

指管在已是经过管口校正后的长度律数，已不等同于律制的理论计算律数。由于管内振动体的空气柱有效长度，总大于管的实际长度，在音管设计上，律制的理论数据要加上管口校正系数，才能得到符合于律制设计所要求的理想音高。在经管口校正过后的律形态，称谓管律。

管口校正在历史上有两种方式：一种是同径的情况下，通过改变律制的原律数长度加以校正，例如西晋荀勖用正律黄钟加姑洗的律长之和来制定倍黄钟管，以缩短原倍黄钟管的理论长度来给以校正；另是在保持律制的原律数长度情况下，通过改变管径（包括内、外径）来加以校正，例如明代朱载堉的十二律管，先设倍黄钟律长为2尺，再设管内径为0.5寸，相邻半音律之间内径的比率为2的24次方根，内、外径的比率均为2的平方根，其他各管长度均以平均律半音的比率迭减。

由于管口校正不仅仅与管材料的质量、管壁的厚度以及管的内径等因素有关，还与管的同心度、内壁光洁度等制作工艺水平等因素相关联。校正系数还往往因为不同的实验条件，所得结果之间总存在有一定的差异。因而依照不同实验所得的所谓管口校正系数而制作的管，在音高上难以得到相同的结果，由此得到的管律计算方程式之间也总有一定的差异，所以它们实际上都只是经验公式。

实际制作时，校正过的数据还只能作为前期制作的参考值，后期制作还是要用传统的“以耳齐声”的方法来加以修改完成。在科学不太发达、制作工艺技术水平不高又无精密计量仪器校验的年代，也只有采用“以耳齐声”方法来校验律管。直到明代朱载堉在阐述律管制作方法时，还力主使用笙簧点校诸律后，“两簧一口噙而吹之，则知黄钟与林钟全协者为是”，再“令二人互换齐吹（律管），察其气同，乃与笙齐吹相协”。这说明无论朱载堉的管口校正方法的理论数据如何精确，“以耳齐声”的流程还是必不可缺的。

弦律是与需要管口校正的管律相对而言的。根据弦长比和振动比完全相吻合的音程形成原理，采用弦长的比率分割来实施具体律制形成所需要的比率分割，它的具体数据在实施时，无须再次校正。自西汉的京房创制律准以后，学界多认为古代律制的设计、计算，主要依据于弦长比的分割原理，由此产生了弦律的概念。

中国历代统治阶级，对于律的研究都格外重视，因它关系到国家度量衡标准的统一，还与天文、历法有着紧密的联系。中国古代，有关律的研究中，黄钟律高标准的确立，似乎是历代建朝初期关系到社会政治经济稳定的一项极其重要的工作，其次才是围绕旋相为宫、音阶结构统一的律制改造。中国古代律学的研究成果，也体现了中国古老传统科学文化的发展水平。

中国完整十二律体系的出现，至少可以追溯到东周景王贵执政23年（约公元前295）之前，《国语》中景王与伶州鸠的一段对话中所提到的十二律名，沿袭至今仍然使用。《吕氏春秋》众采先秦诸家之说，完整介绍了十二律的相生之序以及三分法。可见，中国三分损益十二律以及它的计算方法至少于先秦已存在。

中国音乐历史上，管子《管子·地员》篇首先详细阐述了三分损益律的具体计算方法和七律之结构数理关系。《管子》中所首创的“凡首（宫）先主一而三之，四开以合九九”的起始律长度整数比率81的律学计算方法，使得由宫起始所相生的七律之间都能获得精确的结构比率关系。刘安《淮南子》继《管子》后，用相同方法，为生三分损益十二律，设“置一而十一三之”的177147为起始黄钟律数，使得其他十一律的相生中，都能得到精确的整数比率。这在当时只能使用算筹这类极其低级的计算工具时代，要完成这十二律的大数之间的运算，在中国算术史上也可算得上是一项较大的工程。

自中国第一部纪传体史书《史记》采取汉代以前经书、国语、诸子等古书籍中有关律学资料专设《律书》以后，《汉书》又一改“书”为“志”，在以后历代史籍的“志”中，都有与律学研究、发展相关文献的详细记载。其中不乏律制改革的多种主张与方案，根据出现的先后时间略举如下：

汉代京房在定律标准器的律准上，用三分损益法产生的三分损益律，将一个八度细分为六十律，它最小分辨率是黄钟至色育（177147/176776）之间的音程差3.62音分，有称谓“京房音差”。其准中，列有58个宫律位，几乎每宫均都可构成古代音阶的乐律结构，基本可以达到每个宫均音阶律结构的一致性。从它的按语分析后，可见每个律下设了3个宫调的律位标识，即除58个正声宫律外，还另列有58个徵宫律，58个商宫律的律位。诸宫律的和，构成了正声律系统；诸徵宫律的和，构成了下徵律系统；诸商宫律的和，构成了清商律系统。（见例2）

南北朝钱乐之约在宋元嘉十五年（438）任太史期间，用三分损益法创制了在一个八度内细分为三百六十律的律制。三分损益三百六十律的最小可辨音程差为1.85音分，有称谓“钱乐之音差”。该律制为完全无法参与实践的过于细分的律制，只是一种理论上的算律。

南北朝何承天在三分损益十二律的基础上，将相生12个五度级后与起始律黄钟的长度差，再平均加至各寸律中，使仲吕宫至黄钟宫的距离接近1个五度级关系，以达到十二律旋相还宫的理想。由于他是将音程的等比关系视作等差关系，所以这样的调正律，所有相同音程可能会出现不同的律差，所有相同音阶也会出现不同的律结构。从整个律制的结构分析看，是非常接近十二平均律，也是历史上诸种调整律中最为实用的一种律制。

西晋泰始十年（274）荀勖所制定的12支笛律（形制似今箫），每支设七律可奏3个不同乐学结构的宫列，12支笛律之间的同名律在理论上相对应。荀勖所设计的笛律是以黄钟律（宫）与姑洗律（角）之间的长度差值作为黄钟笛的管口校正数，其他11支均仿此。管口校正的具体方法的实施，这在中国律学史和物理史上，是有着深远影响的重要发现。

五代后周显德六年（959）王朴给律准制作时提出的一套十二律数。当前对于该律制形态的产生法有两种不同认识：一种认为它是采用三分损益法，仅在相生到南吕及姑洗二律时采用扩大原长度比值，以缩小仲吕相生后的黄钟与起始黄钟之间的差距，是一种不规则的调整律，有一定的随意性；另一种认为，王朴为律准所给出的十二律数（取寸的小数2位），是符合当时社会计量水平切实可行的约率。他并非采用前人调整的方法，而用扩大原五度相生长度公比的方法来周延十二律，以使仲吕宫均至黄钟宫均尽量向1级关系调靠拢。故王朴是中国音乐历史上认识到音程上的变化不是算术级数的变化，而是几何级数变化的第一人，他给后人创造十二平均律提供了理论上的准备，也因此曾得到明代朱载堉的推崇。

南宋蔡元定在三分损益十二律的基础上继续相生六律而形成的一种律制。该律制，旨在加强十二宫均转换中的古音阶结构一致性，这在当时音乐作品中宫调应用与转换不太多的情况下，是一种非常实用的创举。该律产生的诸宫均音阶律结构一致性，不仅适用于古音阶的正声调，同样适用于经转换后的清商调、下徵调。仅为了强调古音阶结构的一致性，显然这和解决旋相还宫是大相径庭的。

明代朱载堉在吸收前人律制改革成果的基础上，约在万历九年（1581）年采用开放术发明的一种全新的律制。它使用25位算盘作为计算工具，先于倍律黄钟2尺开2次方得到倍律蕤宾的比率，再以蕤宾值开2次方得到倍律南吕的比率值，继以南吕值开3次方得到与正律黄钟构成半音关系的倍律应钟的比率值，由此相继得到完整的十二均律。在十二平均律产生的具体方法上，朱载堉在《律吕精义·内》篇中给出了四度相生法、五度相生法、顺向与逆向二度相生法等4种产生法。由于十二平均律中的所有相同音程之间的音程距离相同，就彻底解决了仲吕还生黄钟的问题，从而实现了十二律中所有相同音阶结构的一致性和“周而复始”无限相旋的理想。朱载堉发明创造的意义，是音程级数的变化率与几何级数的变化率成正比这一认识上的飞跃，是中国古代科学思想和律学研究方面的一大进步。

欧洲律学史通常被分为毕达哥拉斯律（约公元前6世纪～公元14世纪）、纯律（约15世纪始）、十二平均律（约18～20世纪）3个时期。这种律制发展历史的变迁与欧洲音乐先后经历的单声音乐、复调音乐及主调音乐3种音乐类型的变迁有着一定的必然联系。但这种律制的历史变迁过程并非是一种律制完全代替另一种律制的过程，而只是由于音乐类型的要求、某种律制在一定历史时期处于主导地位而已。

毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家。在他组织的宗教社团中，聚集了一批数学家、天文学家及物理学家，他们对诸多问题进行研究，由此形成了一个有巨大影响力的学派，历史上称为毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯并没有著作传世，其学说当为后人转述的产物。毕达哥拉斯学派用数学研究当时音阶的定律法，并因此提出了五度相生律，后世称为“毕达哥拉斯律制”。这种律制对当时的希腊乃至以后的欧洲音乐以及阿拉伯乐制都产生过深远的影响。

阿里斯托克塞诺斯（约公元前375～？）是古希腊音乐理论家、作家。强调人的听觉是辨别各种音乐现象的唯一标准，由此，他与持此音律观的诸家被称为“和声派”。阿里斯托克塞诺斯曾将八度分为6个均等的全音音程，继而又把全音分为两个相等的半音音程。据此，现代有人得出阿里斯托克塞诺斯已设计出或掌握十二平均律，并进一步论证古希腊时期已发明了十二平均律的宏论，对此许多学者持否定或存疑的态度。显然，阿里斯托克塞诺斯与他所属的“和声派”对细微的音具有高度的辨别能力，用如此的听觉来定律无疑会做出极其精密的划分。这对其后的欧洲律学有着较大的影响。

G.扎利诺是文艺复兴运动全盛时期意大利著名的音乐理论家、作曲家。扎利诺对纯律与中庸全音律的探究成果是他在律学方面的主要贡献。

扎利诺提出的纯律大音阶也就是人们通常所称的纯律大音阶。为了使纯律大音阶能够在音乐实践中得到应用，1588年他曾设计出一种由6个基础音列律、2个高一音差列律、5个低一音差列律和3个低二音差列律，共16律构成的键盘。但该键盘在转调上存在着极大的局限性。

中庸全音律之名来自“中庸全音”（频率比是57/51，计193音分）。在中庸全音律中只有一种全音即“中庸全音”，它比大全音小四分之二个普通音差，又比小全音大四分之二个普通音差。扎利诺提出的是“四分之一音差中庸全音律”。这种中庸全音律可阐释为：五度音列c、g、d、a、e中的e音与c音不谐和，须把e音降低一个普通音差才能保证其谐和。“四分之一音差中庸全音律”就是把该普通音差分为4个更小的音差分布于g、d、a、e五度音列的各音上，即将五度音列c、g、d、a、e每次相生的纯五度，都减少“四分之一个普通音差”。这种中庸全音律的半音（频率比为183/171，约计117音分），比纯律大半音（112音分）大四分之一个普通音差，即大约5音分。由此运用这种中庸全音律构成的大音阶同纯律大音阶相比，更加单纯划一，即其只存在一种全音（中庸全音）和一种半音（中庸律半音）。这当是中庸全音律的主要优点。因为这种中庸全音律的大小三度和大小六度都合于纯律，因此中庸全音律用在大小音阶上构成和弦时，能产生纯律的效果；同理，当用在当时的各种中世纪调式上构成和弦时，也能产生纯律的效果。

由十三律（由c向上生得九律，向下生得三律）构成的四分之一音差中庸全音律，可构成C、G、D、A、E、F、bB大调和a、d、e、b、^#f小调，在这7个大调和5个小调的范围内可以做符合中庸全音律大音阶与小音阶要求的转调，超出这个范围，就会出现显著不和谐的“五度狼音”音程。这个音程由向上生得九律的最后一律^#d（270音分）与向下生得三律的第二律^bb（1007音分）构成，两律相距737（1007～270）音分，它比纯五度（702音分）大出35音分，其不谐和程度可想而知。该音程是造成五度音列不能合理连接的症结所在，也是五度音列无法循环转调的障碍。

扎利诺1571年提出四分之一音差中庸全音律在当时得到了众多音乐理论家的极力推崇，因为用这种律制调音的键盘乐器，特别适合演奏纯律大小三度和声音程连续进行的乐曲片段。中庸全音律的最大优点表现为能发出纯律的效果，由此使和弦发音和谐的问题得到了解决，进而使中庸全音律在文艺复兴时期成为键盘乐器（管风琴、古钢琴和羽管键琴）最为通用且最佳的律制，也由此使中庸全音律在十二平均律流行之前于欧洲盛行数百年。

S.斯特芬（1548～1620）是荷兰数学家、工程师。在西方，是他第一个找到了解决12等程律的数学方法，这也是他在律学方面的主要贡献。斯特芬取八度音程比为1∶1/2，然后进行开方运算，计算结果精确到5位数字。斯特芬的等程律论文写完后曾寄给一位有音乐实践经验的音乐家朋友，希望能听到其对等程律的意见。但这位朋友随意浏览一遍后就将其搁置一旁不再过问。斯特芬本人对此论文也并不十分关心。直到1884年这一论文手稿被人发现后才得以发表。只可惜此时这一研究成果对西方音乐艺术已不会有什么影响了。

A.韦克迈斯特（1645～1706）是德国音乐理论家、管风琴制造家兼作曲家。他的名字是与十二平均律连在一起的。他的十二平均律著作发表于1686～1687年，但因初版失落，1691年才得以再版，因此一般认为他发表十二平均律的理论数据在1691年。他设计的几种加入某种中庸全音律的不规则律曾被J.S.巴赫所采用。韦克迈斯特生活的17世纪晚期至18世纪前期，由于许多人对十二平均律的倡导，出现了众多优秀管风琴制造家群起采用十二平均律的局面。

巴赫是德国作曲家、管风琴家。他分别于1722、1742年写成的《十二平均律钢琴曲集》（上、下卷）对十二平均律这一律制起到了推广作用，这也是他在律学方面的主要贡献。在《十二平均律钢琴曲集》中，作曲家依次用12个大调和12个小调写成前奏曲和赋格曲。这些曲子常被认为是充分发挥十二平均律的效能、可以自由转调的典范作品。近人研究成果表明，巴赫初始创作的《十二平均律钢琴曲集》在律制上并非完全运用的是十二平均律，而是既有十二平均律，又有韦克迈斯特和意大利作曲家兼音乐理论家F.A.瓦洛蒂（1697～1780）的不规则律，还有法国的“普通律”（一种十分复杂的不规则律）等。所用乐器也并非今天的钢琴，而是古钢琴或羽管键琴。由此可见，今天2卷曲集的译名与原文是有出入的，原文正确译名应为《调音适宜的键盘曲》。今天人们普遍以十二平均律调音的钢琴来练习和弹奏这些作品以理解18世纪的复调音乐，也正因如此，今天的译名又是可以理解的。

A.J.埃利斯（1814～1890）是英国语音学家、音乐声学家兼数学家。埃利斯音分值是以1200为八度之值，以100为平均律半音之值。由于以100分为半音之值，所以称每一分为“音分”。埃利斯发明并倡用在国际上广泛使用的音分值，20世纪末在中国的古代音乐史、中国民族音乐研究中也发挥了不可小视的作用，许多音乐学家通过测音音分值不仅对古代乃至不同民族之音阶进行了探究，而且对其律制也进行了探求，并且这一做法大有愈演愈烈之态势。对此我们不能忘记埃利斯对这一工作的有益提示：在不能直接从当地的演奏者的演奏听取某个乐器的音阶的实际音高度时，是没有任何更好的方法来了解其音高度的。而且，即使在能够从当地的演奏者听到实际演奏的情况下，也不是说就了解到形成该音阶基础的理论，而仅是能知道对乐器进行了调律的这一特定音乐家所调制的音阶而已。实际上，仅从这个事实就把推理的过程反过来，或尽量设法利用乐器来推论出原来应发出的音的做法是极危险的。当然，虽然应该像这样在各个方面尽量做出努力，但不应进行与我们作为在理论上假定根据的观察所得到资料无关的推论。

生活在亚洲西部、非洲北部的以阿拉伯民族为主体的国家，在乐制方面，以“四分之三音”为主要特征，世称“阿拉伯—伊朗乐制体系”。阿拉伯人不仅懂得八度、纯五度和纯四度的协和，并且知道如何处理四分之三音。在阿拉伯乐制的产生过程中，弦乐器乌德起着非常重要的作用，乌德的定弦和指位可看作乐制产生的基础。

扎勒扎勒（？～791）是波斯（今伊朗）乌德名手兼音乐理论家。8世纪时曾将“波斯中指”的音程改革为“中立三度”与“中立六度”。形成该两音程的中立音与其上、下相邻的音阶音构成的音程约等于全音的四分之三，所以称为“四分之三音”。依据四分之三音，还可以派生出“四分音”和“四分之五音”之类音程。这一类特殊音程，直至今日，仍为阿拉伯国家和混居着阿拉伯民族的国家之民族音乐的共同特征。扎勒扎勒则因为改革乌德，在乐制上保留了阿拉伯民族的音乐特性而流芳后世。

阿勒－肯迪（790～874）是阿拉伯哲学家兼音乐理论家。阿勒－肯迪在乌德上除以纯理论方法处理指位外，还给琴弦蒙上一层宇宙哲学的外衣。他认为乌德的4条弦与黄道带、四行（地、水、火、风）、四季和四体液（血液、黏液、黄胆汁、黑胆汁）有关。他在乌德4条弦的纯四度定弦上，将毕达哥拉斯律制的两种半音相间使用，如此的指位安排产生的是一种十二不平均律。

萨菲·丁是阿拉伯音乐理论家。萨菲·丁在前人运用四度相生法生得九律的基础上，继续往下生8次而产生了他首次提出的十七不等平均律。这种十七律可看作两个由两个大全音（204音分）和一个五度律小半音（90音分）构成的四音列用叠接方式相联结，加入一个大全音而成。萨菲·丁企图用十七律解决阿拉伯民族律制的问题。尽管并没有完全实现其目的，但这种律制18世纪以前在阿拉伯国家非常盛行。

马沙加（1800～1888）是阿拉伯音乐理论家兼数学家。19世纪曾在论著《论希哈卜的音乐艺术》中提出二十四平均律，从而进一步解决了萨菲·丁十七律之中立音不能满足阿拉伯人听觉习惯的阿拉伯民族律制问题。二十四平均律相当于将十二平均律的各律都分为两律，各律音程值为50音分。因此，它基本上解决了阿拉伯律制中的中立音、四分之三音和四分音等问题。二十四平均律的提出无疑对阿拉伯民族的律制具有一定的规范意义，但在音乐实践中其灵活变动的可能性无疑是存在的。

19世纪以至20世纪，阿拉伯国家中出现了取消阿拉伯特殊音律四分音（包括四分之三音）的论调，认为唯此才有利于阿拉伯音乐的发展，并逐步使其成为世界性的音乐语言。

20世纪中国律学理论研究所走过的历程，根据理论研究社会背景的差异，参照中国理论律学研究成果出现的年代，可分为3个阶段：第一阶段1920～1949年，并先后出现一批对中国当代律学研究做出突出贡献的代表人物；第二阶段1949～1966年；第三阶段1978～2000年。

刘复，字半农。诗人、学者。他是将西方音乐声学知识与中国音乐实践相结合的先行者，最早用现代算术公式表达了朱载堉的“新法密率”；从现代科学的角度对中国古代律学遗产进行了客观评述；最早引进了英国埃利斯所倡用的音分计算法。1930年夏，刘复发起并主持了对北京故宫和天坛所藏清宫古乐器的测音工作，历时一年有余，这一举措被当今音乐考古界看作现代中国音乐考古学的滥觞和其脱胎于旧学的界碑。他则被誉为现代科学意义上的中国音乐考古学的先驱者和奠基人。

王光祈，音乐学家。是中国民族音乐学的先驱者，是运用比较音乐学的方法研究世界乐律的第一人；他在对古籍中有关中国古代律学的内容进行系统梳理的同时，采用现代方法解释中国古代的定律法和音律计算法，认为中国古代以管定音，但并非以管长而以弦长计算音律；对中国黄钟的长度和律管的计算方法，依国外的研究成果作了较为详细的介绍；沿用E.M.von霍恩博斯特尔之成说，将世界音乐分为中国、希腊、波斯-阿拉伯三大体系，开创了中国律学研究面向世界的先例。

杨荫浏，音乐学家。他在中国音乐史、中国乐律学和中国民族音乐研究等方面，均有突出的贡献。他在律学上的贡献主要表现对中国古代律学遗产的梳理，他发现了晋代荀勗笛律的管口校正，并以实验的手段制笛验证；他把琴律纳入中国古代的律学范围；他用现代的频率和音名对见之文献记载的中国历代的各种黄钟管长度，经音高推算，列表进行了比较；在晚年的《管律辨讹》论文中，他指出中国古代的三分损益律是在拨弦乐器的实践中产生的，管乐器虽有可以用于定音的固定音高，但管律不是本于实践，文献上出现混淆弦律与管律的情形，是以讹传讹的结果；在《三律考》论文中则对三分损益律、纯律和十二平均律这3种律制作了专门的考证，指出3种律制在中国历史上皆较早出现，并且有律并用的情形。除上述梳理方面的研究，他还通过自己制作的多种律器、绘制的多种律表，以探求律学研究服从于音乐实践的需要，从而对当今的笛、琵琶、七弦琴等乐器的律制问题提出了许多有益的见解。

吴南薰，乐律学家。他在律学上的主要成果是于1961年完成的《律学会通》一书。全书共4卷，依次为：第1卷，律学研究之预备，主要介绍律学的基本常识；第2卷，古今律学详说，专论中国有史以来乐律的发展与演变；第3卷，历代黄钟音之比较，探讨中国历代黄钟的高度及其与历代尺度的关系；第4卷，中外古今律学之会通，主要考察中外乐律的异同及相互影响。他发现，三分损益十二律中的黄钟律和仲吕律所构成的增三度音程（522音分）接近纯律的宽四度音程（520音分），转位后的减六度（678音分）接近纯律的狭五度（680音分），都仅相差不易察觉的2音分。所以，如果取夹钟为律首，可以变三分损益十二律为纯律十二律。由此进一步推论，京房六十律之前五十三律，既是三分损益律，又可作为纯律。最终得出：中国古代“六律十二管的旋相法”既可用于三分损益律也可用于纯律；三分损益律与纯律在公元前“不得不认定是同生同长，或共存共荣”；并认为京房六十律似有促使唐代在燕乐采用纯律的趋势等结论。

潘怀素，乐律学家。他在律学上的主要贡献是在京房六十律的基础上提出“二十三不等分纯正律”。这种律制是以京房六十律中的第四十九律“质末”（93.84音分）的高八度和第五十七律“白吕”（909.48音分）所构成的大三度音程（384.36音分），即将纯律大三度（386音分）降低听觉不易察觉的2音分，成为384音分；以纯律小三度（316音分）升高2音分得到的318音分音程；以纯四度（498音分）和纯五度（702音分）一起作为生律依据，形成的由二十三律组成的不平均纯律。这种二十三不平均纯律在一定范围内可以转调，构成和弦时比十二平均律较为协和，但不能构成同律结构的十二个调的音阶与和弦。

丘琼荪，乐律学家。他在律学上的主要成果是《历代乐志律志校释》一书。此著作对研究中国古代的律学有着不可忽视的帮助作用。该书原拟分为5册由中华书局出版。但由于1966年开始的“文化大革命”，致使第1分册出版后出版工作即告停止。1996年经人民音乐出版社与中华书局协商，中华书局同意将此书转交人民音乐出版社出版，同时移交了现存的第2分册清样及第3分册至第5分册所余遗稿，使本书的全部出版成为可能。1999年人民音乐出版社出版了该书的第1、2分册。

黄翔鹏，音乐理论家。他的研究涉及古代乐器、古代律学、民族音乐形态学等诸领域。他在律学上的主要贡献体现在对“钟律”与“琴律”研究的一系列成果中。钟律一词是在开展编钟的乐律学研究中复出的一个术语，先后见于下列黄翔鹏的文论中：《先秦音乐文化的光辉创造——曾侯乙墓的古乐器》《释“楚商”——从曾侯钟的调式研究管窥楚文化问题》《曾侯乙钟磬铭文乐学体系初探》《音乐考古学在民族音乐形态研究中的作用》。琴律一词则见于黄翔鹏的下列文论：《“琴律”研究》《中国古代律学——一种具有民族文化特点的科学遗产》《中国传统音调的数理逻辑关系问题》《均钟考》。黄翔鹏的钟律、琴律理论可简要概括为：钟律是一种以管子生律法为基础，以三度关系为枢纽的复合律制；钟律就是琴律；钟律可以钟律音系网的形式表现出来。

缪天瑞，音乐理论家、音乐教育家。他在律学上的主要成果是《律学》一书。该书于1950年初版后，至今已有3次修订版，初版《律学》从律学的基本常识（研究范围、音的性质、律的计算法、国际标准高度）讲起，再分别说明3种通用律制（五度相生律、纯律、十二平均律）的生律法，而后对3种律制进行比较，又在“律史”一章中介绍了古今中外的各种律制。第1次修订版主要修改初版以纯律为标准的观点，提出以十二平均律为标准，同时与其他律制相适应的论点；又修改了初版从纯律角度来看待阿拉伯等民族乐制，从而增加了《亚洲非洲若干民族乐制》一章，阐述了不同民族的乐制特点。第2次修订版（即增订版）的篇幅，由第1次修订版的八章增至十章。其中前五章侧重于律学的原理；后五章侧重律学的应用，并增补了相关内容。第3次修订版是在增订版的基础上，补充、修改20世纪80年代以来中外有关律学研究的新资料或新成就。如第6章《中国律学简史》除补充详细的有关律史资料（包括出土的曾侯乙墓钟律、京房六十律等）外，又加进今人对古代律学和民族乐制研究的新成就，并于该章最后增写“律学研究的新时期”一节，历述1911年至今音乐家和学者致力于律学研究的成果和律学研究机构、教学等发展的形势。

赵宋光，中国音乐学家、音乐教育家。他力主为中华律学传统的复兴与开拓而研究中国传统律学，因此他于律学方面的研究成果多有基础理论建设的意义。如他引用量子力学理论中的“跃迁”概念来解释四分之三音的产生机理，并探究这种音级在和声功能体系中的地位，要求功能和声理论接纳这种现象。他还提出“振动周期”“相对波长”等概念，用“相对波长”所示乐音的相对高度，与中国传统的律数或律度的比值在形式上可以保持一致。这一理论使传统律学表达方式具有现代的物理学意义。

冯文慈，中国音乐史学家、音乐教育家。他在律学方面的主要成果有朱载堉原著《律学新说》《律吕精义》的标点注释本；《释伶州鸠答“七律者何”——附论对古代文献的解释》《朱载堉年谱》《朱载堉的落漠坎坷及其启示》《朱载堉珠算开方术述评》《略论我国当前律制问题》等论文。冯文慈称朱载堉是“实学思潮中杰出的乐律学家”，认为朱载堉在《律学新说》与《律吕精义》中，始终贯穿着求真务实的精神，对历史上迂腐儒生的荒诞虚饰之鞭挞时有所见。实际上，这也正是他本人治学历程的生动写照。他认为中国目前究竟采用何种律制应该是因乐制宜、因族制宜、因地制宜，或者说主要是因乐制宜，即按照不同时代、不同民族、不同地域的音乐品种乃至个别作品的结构特点等，决定采用何种律制，既不必要也不可能齐步走、一刀切，均采用一种统一的律制。他通过对古文献所涉乐律问题的探究，提出对古代文献进行解释的见解：首先要弄清古人主观上想要表达的是什么，其次才谈得上对这一文献的分析、判断，以及它有没有古人主观以外，在客观上确实所具有的意义，从而对它肯定、否定、继承、扬弃等……不能以今人之意增释古人之文；在提出假说的时候，从对待古代文献的态度来说，应该十分注意保持应有的严肃性。

陈应时，中国音乐学家、音乐教育家。对中国古代乐律学有精深研究，其乐律学术著作《中国乐律学探微》受到学界高度重视。其中对中国古代纯律的考证，对中国古代律学中的生律与律制，律准与琴律的研究具有很高的学术价值，对于推进中国传统乐律学的研究产生了重要影响。

近半个世纪以来，中国的律学研究侧重对中国传统律学文献的解读、分析，梳理、归纳。由于古文献的相关记录都比较简洁扼要，存疑问题较多。有些共同关心的问题，在经过热烈讨论后虽有些取得了共识，但尚有不少问题因分歧过大而存疑。

看来中国律学史的研究任务还相当艰巨和繁重，就历史的梳理而言，也还有许多不毛之地等待着后人去开垦和发掘。以往的乐律学史研究，尚存在着律学与乐学分离的局面，这和中国音乐历史存在的现状相悖，这也是对历史存疑问题难以做出正确而客观的分析、解释的主要原因之一。

从律学应用的角度，随着科学水平的提高和科研环境、条件的不断改善，今后的律学研究发展方向，可望会朝着更注重于对当今现存的各种不同类型的音乐形态和乐器的实验、分析比较，以使律学研究更贴近和服务于音乐实践和社会现实生活。