非欧几里得几何是数学的重要分支，有广义、狭义、一般意义三种不同含义。广义的非欧几何泛指所有不同于欧几里得《几何原本》中第五公设的几何学；狭义的非欧几何专指罗巴切夫斯基几何学；一般意义的非欧几何包括罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

古希腊数学家欧几里得的不朽巨著《几何原本》，奠定了欧洲数学研究的基础。《几何原本》创造了一套从公理、公设、定义出发，通过演绎论证命题得到定理的几何学论证方法，两千年来，被西方数学家们奉为经典，将数学大厦建立在欧几里得的几何学之上。但欧几里得几何学并非坚不可摧，《几何原本》中的第五公设被视为其阿喀琉斯之踵。《几何原本》中的五条公设分别为：公设1，过两点能作且只能作一直线；公设2，线段可以无限地延长；公设3，以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；公设4，凡是直角都相等；公设5，若一条直线与两直线相交，且如果在这条直线同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。相较于其他公设，第五公设过于冗长，而且在《几何原本》中只使用过一次，因此备受质疑，甚至部分学者认为欧几里得无法证明第五公设，所以才将其列为公设。也有学者尝试证明第五公设，但均以失败而告终，只留下了一些和第五公设等价的命题，其中最有名的是苏格兰数学家普莱菲尔提出的：过已知直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。此命题表述简洁，因此被称为“平行公理”。此后的数学家们致力于用新的可接受的公理来取代第五公设，或者证明第五公设必然是一个定理，A.-M.勒让德、G.萨开利、J.-H.兰伯特、F.K.施魏卡特等人都取得了一定的成果，但无论是第五公设本身还是与之相对应的等价命题，始终无法得到令人信服的证明，因此第五公设和平行公理也被视为几何原理中的家丑。

19世纪初，第五公设的问题有了突破进展，C.F.高斯、J.鲍耶、N.I.罗巴切夫斯基三位数学家在继承前人研究成果的基础上，都独立地创立了不同于欧几里得的几何学。高斯在1816年左右发现了新的几何学，他称之为反欧几里得几何（anti-Euclid geometry），在这种几何学中，三角形的内角和小于180°。由于担心引起人们的误解，高斯并没有公开发表其新几何学。高斯的好友数学家F.鲍耶长期研究第五公设问题，但收获甚微，F.鲍耶的儿子J.鲍耶受父亲的影响也沉迷于第五公设问题，并从欧几里得几何之外找到了新奇的世界，建立了新的几何学。小鲍耶的研究成果被命名为《绝对空间的科学，和欧几里得第十一公理的真伪无关……》，附在其父亲的《为好学青年的数学原理论著》一书中于1832年出版。这并不是最早公开发表的非欧几何文献，在1826年2月23日，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在喀山大学物理系宣读了名为《简要叙述平行线定理的一个严格证明》的论文，这一天也被认为是非欧几何诞生之日。1829年罗巴切夫斯基在《喀山通讯》上发表了《几何学原理》，是世界上最早公开发表的非欧几何文献。罗巴切夫斯基在欧几里得几何之外，建立了完整的几何学体系，他将之称为虚几何学。但由于世俗的压力，虚几何学并没有给罗巴切夫斯基带来多少荣耀，反而招致了嘲讽和诋毁。在罗巴切夫斯死后，数学界才重新重视他的学说。1893年，喀山树立了罗巴切夫斯基的雕像，以纪念他为建立非欧几何作出的伟大贡献。

1854年，高斯的博士生B.黎曼在格丁根大学进行了名为《论关于作为几何学基础的假设》的演说，构造出了不同于罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几何，也因此跻身非欧几何创立者之列。此后E.贝尔特拉米、F.克莱因等数学家相继为非欧几何建立了解释模型，A.爱因斯坦更是将黎曼几何作为相对论的数学工具，非欧几何在数学界有了更为重要的地位。

非欧几何在后世产生了广泛而深远的影响。对于数学而言，非欧几何的产生，使得数学家们重新审视过去被认为牢不可破的几何学根基，从基础开始重新研究几何学。因此从根本上改变了人们的几何观念，使得几何学的研究从平面图形转为立体抽象的空间，引领几何学进入了以抽象思辨为特征的新时代。同时一些新的数学分支如数的概念、分析基础、数理逻辑等也随之产生。对于物理学而言，黎曼完善之后的非欧几何学成为了广义相对论最主要的数学工具，广义相对论也引发了物理学的重大变革，因此非欧几何是物理学变革的重要推力，使人类对世界的认识由绝对时空转为相对时空。对于哲学而言，19世纪中后期正是马克思、恩格斯创立自然辩证法的关键时期，非欧几何的出现，是对自然辩证法最好的注解。人们不再囿于对数学一成不变的看法，而是从非欧几何中窥见了不断变化发展的几何新世界。数学也破除了唯心主义哲学和形而上学的桎梏，迎来了新生。