变差函数

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/variogram function/

条目作者李显君

最后更新 2022-12-23

浏览 178次

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在一维条件下，当空间点 $x$ 在一维 $x$ 轴上变化时，把区域化变量在 $x$ 与 $x+h$ 处的值 $Z(x)$ 与 $Z(x+h)$ 的差的方差一半定义为区域化变量 $Z(x)$ 在 $x$ 轴方向上的变差函数，并记为 $\gamma(x,h)$ 。

在这里，有公式：

$\gamma(x,h)=\frac{1}{2}Var[Z(x)-Z(x+h)] =\frac{1}{2}E[Z(x)-Z(x+h)]^2 -\frac{1}{2}\{ E[Z(x)]-E[Z(x+h)]\}^2\tag*{$\cdots$（1）}$

在二阶平稳假设下有：

$E[Z(x+h)]=E[Z(x)] \ \ \ \ \forall h\tag*{$\cdots$（2）}$

于是式（1）改写成下式：

$\gamma(x,h)=\frac{1}{2}E[Z(x)-Z(x+h)]^2\tag*{$\cdots$（3）}$

从式（3）知：变差函数依赖于两个自变量 $x$ 和 $h$ ，当变差函数 $\gamma(x,h)$ 与位置 $x$ 无关，而只依赖于分隔两个样品点之间的距离 $h$ 时，则 $\gamma(x,h)$ 就可改写为 $\gamma(h)$ ，即：

$\gamma(h)=\frac{1}{2}E[Z(x)-Z(x+h)]^2\tag*{$\cdots$（4）}$

应当说明的是，有时把 $2\gamma(x,h)$ 定义为变差函数，则 $\gamma(x,h)$ 就是半变差函数，而把 $\gamma(x,h)$ 直接定义为变差函数时，不会影响它的性质。

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