傅里叶变换是数学上的一种积分变换，工程技术上常用以对各种信号进行分析；对激励作用的线性电路或系统的响应进行计算。

实变量的函数的傅里叶变换定义为：

上式存在的充分条件是：在轴上绝对可积，即；在任何有限区间内只有有限个第一类间断点和有限个最大、最小值。这就是所谓的狄利克雷（Dirichlet）条件。在电路和系统分析中，常将上式中的视为时间变量，便是角频率（以下简称频率）变量。称为的傅里叶变换，将它简记作。由上述定义式即可对给定的求出。对给定的求出相应的的运算称为傅里叶反变换。由下式表示：

称为的傅里叶反变换，将它简记作。

一般是复数值，将它写作

称为频谱密度函数或频谱函数；是的模，称为的振幅频谱；是的辐角，称为的相角频谱。

对傅里叶变换可以作这样的解释：傅里叶变换将分解为其频率连续分布在轴上的许多正弦形谐波，在宽度为的频带上谐波的复数振幅为；傅里叶反变换则是将所有的谐波相加，即将对积分得到。图中列有常见信号的傅里叶变换的例子。由频谱函数或振幅频谱和相角频谱可以看出信号中各谐波成分的振幅和相位的分布情形。

ε（t） 单位阶跃函数δ（t） 单位冲激函数常见信号波形与其傅里叶变换

集总的非时变线性电路或系统是以常系数线性微分方程来描述的。利用傅里叶变换和叠加定理，可以对这类电路（或系统）的零状态响应做出分析。这里仅就一个激励所产生的一个变量的零状态响应问题说明这一方法。

假设有一激励，；响应为，。为求，可以先求。对于线性非时变电路或系统，响应的频谱函数与激励的频谱函数之比被定义为电路或系统的频率传递函数，即。假定频率传递函数是已知的，则可由频率传递函数与激励的频谱函数的乘积求得响应的频谱函数即。对做傅里叶反变换即得：

这就是所要求的响应的零状态响应。

用计算机做傅里叶正变换和反变换时，要把和离散化，即用它们的有限个采样值做计算。令有限长序列的长度为，即设的值为。的离散傅里叶变换也是长度为的序列。离散傅里叶正变换和反变换公式为：

将函数离散化，即在时间区间内进行等间隔抽样。令抽样时间间隔，抽样得到序列即为，即：

则和满足一定条件下，可作为的很好近似，即由DFT可有效计算连续信号的频谱。

计算离散傅里叶变换的快速算法——FFT算法，由J.W.库利（J.W.Cooley）和T.W.图基（T.W.Turkey）在1965年最早提出，此后FFT算法的内容不断得到丰富。

设是维列向量，则有：

称为向量的一维离散傅里叶变换（DFT）。其中为矩阵，元素。是-1的次根的主值，满足：①，；②，。FFT利用的性质进行代数变换，大大提高了DFT的计算效率。以为例，记，有：

式中和分别表示维向量和的DFT。根据的性质容易推知：

以上推导过程将维向量DFT的计算分解为分别计算两个维向量的DFT，再进行N次乘法和加法。此分解过程可一直持续到向量长度为1。由此可知，若采用以上方式计算维向量的DFT，则总的运算次数为。当不是2的整数幂时情况相仿。

直接计算点DFT和离散傅里叶逆变换（IDFT）各需要次乘法和次加法，因此FFT算法比传统直接计算效率提高倍。越大，效果越显著。如用计算机对卫星摄影的照片进行处理，对10厘米×10厘米的照片间隔1微米的点进行计算，在每秒1亿次计算机上计算需要3年时间，而FFT只要几十秒。

FFT的发现被公认为数字信号处理发展史上的里程碑，标志数字信号处理学科的开端。FFT算法在数字信号处理技术应用的各个领域，如谱分析、图像处理、数字通信等都发挥着重要作用。