对于某些完全确定的非线性系统，当系统的某一参数连续变化到某个临界值时，系统的全局性质（定性性质、拓扑性质等）会发生突然变化的现象。这种现象称为分岔现象，这是一种有重要意义的非线性现象。分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴趣。理论和实验的结果都表明，分岔是出现在许多学科中的普遍现象，人们在物理学、生物学、生态学等很多不同领域发现了大量当时认为难以理解的转变，这些现象在分岔理论建立后得到了普适性的解释。分岔理论就是研究分岔现象的特性和产生机理的数学理论，探讨动力系统各种解的出现、转变或消失等行为。

早在19世纪，德国数学家C.G.J.雅可比^[注]、法国数学家H.庞加莱^[注]等人就已引进“分岔”这一术语，出现了许多关于分岔理论的著作，其中除大量的数学文献外，在弹性结构、流体力学、天体物理学、化学反应、非线性振动、生物发育、基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多。在系统与控制理论中，分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失、分岔性失稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题。分岔理论也为协同学、耗散结构理论、数学生态学提供了有用的工具。

除了数学理论的研究外，通过数字计算机进行的数值实验是研究非线性微分方程中的分岔现象的主要手段。20世纪80年代前后，关于分岔的实验观测已经在迅速增加。分岔理论对许多实际系统的研究有重要意义。

20世纪70年代后期关于混沌现象和奇异吸引子的研究结果表明：连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。混沌现象是比简单分岔更为复杂的一类非线性现象。它不是简单的无序和混乱状态，而是没有明显的周期和对称、却具备丰富的内部层次的有序状态。

从数学角度来说，分岔理论主要研究非线性方程（微分方程、积分方程、差分方程等）中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数关系的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别准则。20世纪50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫^[注]推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以应用。