抽象群若是一个实(复)解析流形，且对于任意所定义的到的映射是一个解析映射，则称是一个李群。例如：

①一般线性群，或，是维实（复）向量空间上全体自同构（可逆线性变换）作成的群，它是一个李群。在向量空间上取一组基，任一便有：

矩阵是非奇异的，便使成为实解析流形。

②称为幺模线性群，它是中矩阵的行列式为1的集合构成的群。

③令是向量空间上的一个非奇异双线性型，于是在中使的所有的集合构成群。

当是正定对称时，称为正交群；当是反对称时，称为辛群。以上这些群都称为上典型群，它们都是李群。

M.S.李的重要贡献是引进了李代数的概念。令是一个李群，考虑流形上的左(右)平移：设，它定义了上的一个左乘变换，称为由定义的左平移。流形上的向量场是指流形上的微分算子，于是流形上的左平移定义的向量场间的“平移”。考虑的左不变的向量场的集合，在内引进运算，这就赋予了一个代数结构，称为对应于的李代数。李代数的运算显然满足及雅可比恒等式。任何非空集合若有一个运算，不妨也以记号[]来表达，且满足上面两个等式就称为李代数。

M.S.李得到下列基本定理：两个单连通李群同构的充分必要条件是它们有同构的李代数；任一抽象的李代数必为某单连通李群的李代数。由此看出李代数的讨论是李群理论的重要组成部分。李群理论的最基础的内容就是从李群的某些概念和性质找出对应李代数的性质，如李群间的同态对应于李代数的同态，李子群对应于子代数，正规子群对应于理想等。

李群论中主要问题之一就是找出任意连通李群的所有的同构类。在具有同一李代数的所有局部同构的连通李群类中有唯一的单连通李群，而这一类的任意李群都同构于，这里是的中心的子群。这样李群的分类归结为有限维李代数的分类及单连通李群的中心的计算。李代数分为可解李代数和半单李代数。半单李代数的分类已完全解决，其中复单李代数的分类由W.K.J.基灵和É.嘉当得到：有4个无限系列；及5个例外李代数(14维)，(52维)，(78维)，(133维)，(248维)。

而复半单李代数是单李代数的直和。复单李代数的4个无限系列所对应的单连通李群有以下形式：型；型，是相应于一个维非奇异二次型的旋量群；型次辛群；型。

任意连通且单连通的李群含有一个最大的正规连通可解闭子群称为它的根基，记为，其商群为半单李群。列维分解定理：是和与同构的半单子群的半直积。

李群到的一个同态连续对应称为的一个线性表示。阿多定理：任一连通且单连通的李群必有一个忠实表示[与的一个李子群同构]。

李群的线性表示归结为李代数的线性表示。É.嘉当和H.外尔已完全得到了紧半单李群的复线性表示的分类。