浙江临海人。早年学诗于陈德永、李孝光，后“应进士举不得志，遂刻意为歌诗文词，动以古人为法”（陶凯《故晋府长史朱公行状》）。元末游学金陵，经南台御史赵承禧荐，授慈溪县儒学教谕，调萧山县儒学教谕，擢萧山县主簿。至正二十年（1360）授江浙行省照磨、左右司都事，转员外郎，皆不就。明洪武三年（1370）春，经宋濂举荐至京师，续修《元史》，史成，以疾辞归。洪武六年，宋濂又荐其有良史之才，赴京师纂修《大明日历》，书成，授翰林院编修。七年与宋濂等奏《皇明宝训》修成，十一月奉命与诸儒考正韵书，十二月考古丧礼。八年奉旨考历代后妃仪卫车从时礼，擢晋王府右长史。洪武九年卒。

据陶凯《故晋府长史朱公行状》及宋濂《故晋府长史朱府君墓铭》所载，朱右所著有《白云稿》《春秋传类编》《三史钩玄》《秦汉文衡》《深衣考》《邾子世家》《历代统计要览》等。其文“一以经为本”，深醇精确，简而有度。宋濂《白云稿序》赞扬其文章“体多而不冗，简而有度，神气流动，而精魄苍劲”（《宋学士文集》卷八）。四库馆臣称其“所作类多修洁自好，不为支蔓之词，亦不为艰深之语，虽谨守规程，罕能变化，未免意言并尽，而较诸野调芜词，驰骋自喜，终不知先民矩矱为何物者，有上下床之别矣”（《四库全书总目》卷一六九）。朱右曾选唐代韩愈、柳宗元，宋代欧阳修、曾巩、王安石及三苏之文编成《唐宋六家文衡》，对“唐宋八大家”之说的最终定型产生了重要影响。

所著现存《白云稿》12卷，明初刻本，收入《续修四库全书》。卷首有李孝光、张天英、危素、倪中、杨翮、宋濂所作序，正文收录骚赋、杂著、序、记、铭赞、题跋等，有文无诗。又《白云稿》5卷，文渊阁《四库全书》本，四库馆臣依“浙江汪启淑家抄录”。《白云稿》11卷，存3卷，明抄本，南京图书馆藏。