牛顿法最初由英国物理学家、数学家I.牛顿（Isaac Newton，1643～1727）在《流数法》（Method of Fluxions），1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表。英国数学家J.拉弗森（Joseph Raphson，约1648～约1715）也曾于1690年提出此方法，牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法可以用于解决非线性方程，利用泰勒级数构造迭代格式函数，也可以用迭代切线法，当然牛顿迭代法还可以用弦截法去解决相关的问题。

牛顿迭代法实现除法：假设有一个函数，求时，的值（这里不讨论有多个解的情况或逃逸或陷入死循环或陷入混沌状态的问题）。

牛顿迭代法实现除法示意图

如图所示，求函数的导函数为（可以这样来理解这个函数：点处函数的斜率）：①取一个合适的初始值，并得到；②过作一条斜率为的直线，与轴交于；③然后用得到的作为初始值，进行迭代。

当进行足够多次的迭代以后，认为将会非常接近于方程的解，这就是牛顿迭代。把上面的过程化简，得到牛顿迭代公式：。这里给出利用牛顿迭代公式求倒数的方法，例如用倒数得到除法。

①求。令；有方程。

②求导得；代入牛顿迭代方程，有迭代式。可证明：该公式为2阶收敛公式。也就是说计算出的解的有效精度成倍增长。

证明：令，为一个很小的量，则有：