孤立波是一种相对稳定的、局部区域的特殊类型波。两个孤立波在彼此碰撞后，各自仍然维持原来的速度和形状，至多只是相位和位移发生改变。孤立波方程具有鲜明的物理意义和实际应用价值。

行波解法是一种求解非线性偏微分方程的重要方法。对于非线性孤立波方程：

    （1）

式中时间变量和空间变量都是实数，而动力学变量为有界的实函数。

如果方程具有形如：

的行波解，式中为常数，并且当，（或趋于某一恒定值），则称为非线性波方程的孤立波解。对于给定的非线性偏微分方程（1），求行波解的步骤如下：

①令，设为方程的解；

②将代入原方程（1）中，则原方程化为以为因变量，为自变量的常微分方程；

③求解常微分方程，并还原自变量，即得到原方程的孤立波解。

1967年，C.S.加德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡和R.M.缪拉（简称GGKM）发现可用薛定谔方程的反散射理论求解KdV方程的初值问题，现在通常称为反散射方法。他们首先对KdV方程：

   （2）

为关于自变量和的函数。作缪拉变换：

    （3）

再令，并引入谱参数，则将缪拉变换线性化为量子力学中一维定态的薛定谔方程：

    （4）

如果方程的势函数按照KdV方程随时间演化，那么谱参数与时间无关，且特征函数随时间的演化满足 

    （5）

于是由量子力学中薛定谔方程的正散射方法，可得到时刻的势函数的散射数据。然后构造出散射数据随时间演化的常微分方程组，可解得时刻的散射数据，由此还原出薛定谔方程的势函数，即得KdV方程的解。

GGKM反散射方法已被成功地应用到其他非线性孤立波方程中，这种方法很像线性问题的傅里叶变换方法，因此也被大家称为是非线性方程的傅里叶变换方法。M.J.阿布罗维奇、D.J.考普、A.C.纽维尔和H.塞谷（简称AKNS）则建立了更为一般的反散射框架，包括了KdV，mKdV，正弦戈登（sine-Gordon）和非线性薛定谔等方程。

1875年，瑞典几何学家A.V.贝克隆在研究负常数曲率曲面时，发现非线性正弦戈登方程：

 （6）

即：

（7）

的两个解与之间有如下关系：

（8）

若为方程的一个解，则也满足方程。这种由已知方程的一个解求方程的另一个解的变换称为贝克隆变换。这种变换的重要作用是根据方程的已知解（例如零解）可以求出新解。许多非线性孤立波方程都存在贝克隆变换，因此这是研究非线性孤立波方程的一种重要方法。

达布变换法是一种与贝克隆变换法类似的求解方法。它是由法国数学家G.达布在1882年研究斯图姆-刘维尔方程的特征值问题时提出的。  

考察一维线性薛定谔方程：

    （9）

式中为给定的势函数；为谱参数。

设和是满足方程（9）的两个函数，对任意给定的常数，令，即为方程（9）当的一个解，则由：

（10）

所定义的也满足与式（9）同样形式的方程：

    （11）

通过这个借助于所做的变换（10），可以将满足式（9）的一组函数变换为满足同一方程的另一组函数，这种变换称为最原始的达布变换，记作，并且只有有效。如果知道方程的种子解以及相应的线性问题（拉克斯对）的波函数，则通过这种变换可获得非线性孤立波方程的新解。

1971年，日本学者R.广田建立了两个函数的双线性导数概念，提出了一种求解非线性偏微分方程孤立波解的双线性导数方法。广田所定义的双线性微分算子为：

   （12）

式中与为变量与的任意次可微函数；和为非负整数；为双线性算子。

广田双线性方法的步骤如下：

①首先通过相应的变量变换（一般作有理变换），根据双线性算子的定义和性质，将原孤立波方程化为对应的双线性方程。

②设函数和作形式关于的幂级数展开：

（13）

将式（13）代入到双线性方程中，令的各同次幂的系数为零，得到的递推关系式，从而可以具体求出，。通常为指数函数形式，在一定条件下展开式被截断，由此可以得到原方程具有指数形式的单孤立波解、双孤立波解等的表达式，并且利用数学归纳法推测出-孤立波解的一般表达式。

③将确定后的代入到式（13）中即可求出和的具体形式。特别地，如果式（13）退化成有限和的形式，就可以求出原方程的显式解。

除上述所列方法外，构造非线性孤立波方程孤波解的方法还有很多，如动力系统方法、齐次平衡法、双曲函数展开法、雅可比椭圆函数法、傅里叶展开法、tanh函数法和exp函数展开法等。但是由于非线性孤立波方程本身的复杂性，不是所有方法都具有普适性。