由于不同领域的研究兴趣和理念方法不同，导致所关注的守恒量不同，至今尚未有统一而严格的可积性定义。这里的守恒量，通常表示首次积分（运动常数）、运动守恒律或对称性。

一个经典的无穷维可积系统的例子是著名的科特韦格-德弗里斯方程（KdV方程）：

 （1）

该方程是一个完全可积的哈密顿系统，它有无穷多的守恒律、两两对合的首次积分，还可以显式求解。1834年，英国造船工程师J.罗素在运河里发现了波形和速度几乎不变的单个凸起的水波。他猜测这种波应该是某个流体力学方程的一个稳态解，但遗憾的是他没能证实这个猜测。第一个实质性进展出现在60年后，D.J.科特韦格和G.德弗里斯在浅水长波和小振幅的假设下，建立了单向运动的非线性水波运动方程，后人称之为KdV方程。众所周知，KdV方程具有如下形式的解：

 （2）

式中为常数。该解描述了图1所示的孤立波，从解的结构可以看出其传播速度和振幅正相关，即振幅越大，速度越快。

图1 KdV孤立波解

此外，该孤立波解还有如下特性：当两个振幅和速度不同的波发生碰撞时，两个波的波形和波速保持不变（图2）。1965年，N.J.萨布斯基和M.D.克鲁斯卡把这样的孤立波正式命名为孤立子。孤立子的存在充分证实了罗素的猜测。

图2 双波传播过程

自从19世纪末H.庞加莱指出三体问题是不可积之后，人们意识到可积系统是非常稀少的，绝大多数动力系统都不可积，因而在很大程度上降低了对可积系统的关注。直到孤立子系统的大量发现，这种状况才有了重大的转变。20世纪50年代中期，E.费米、J.帕斯塔和S.M.乌兰在用数值模拟非线性晶格（FPU模型）在各个振动膜之间的转换时，惊奇地发现，晶格的能量经过很长时间又回到了开始地方，即如果有非线性项存在，能量就会均匀分布，这意味着大量的非线性系统可以出现孤立子。1962年，J.K.佩林和T.H.R.斯格林将正弦-戈登方程用于基本粒子的研究时，找到了孤立子。1967年，S.L.麦考尔和E.L.哈恩做出了激光感应透明孤立波实验。同年，C.S.加德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡和R.M.缪拉提出了求解KdV方程的反散射方法。后来，人们发现了更多的孤立子系统，如非线性薛定谔方程、布森涅斯克方程等，并且证明了这些系统都是可积的，从而掀起了无穷维可积系统研究的新浪潮，相应理论研究也在不断地深入。人们相继建立了零曲率方程、拉克斯对等可积系统结构理论，并发展了可积系统的逆散射变换、达布变换以及贝克隆变换等求解方法。随着更多具有物理背景的可积系统被发现，无穷维可积系统理论和成果已经成功应用到非线性电磁学、光学、等离子物理，以及大气、海洋等众多应用学科中，受到更为广泛的关注。