差分格式相容性

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/consistency of difference scheme/

条目作者任玉新

任玉新

最后更新 2024-12-03

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有限差分方法时间和空间步长趋近于零时，某一偏微分方程的差分格式趋近于原偏微分方程的性质。

英文名称: consistency of difference scheme

所属学科: 力学

设偏微分方程可以一般地写为 $\mathcal{L}u=f$ ，其中 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial^2}{\partial x^2},\cdots)$ 是偏微分方程对应的微分算子。以一个空间自变量问题为例，在时空网格点 $(i\Delta x,n\Delta t)$ 上，偏微分方程的离散形式为 $L^n_iu^n_i=f^n_i$ 。对于任意充分光滑的函数 $\phi$ ， $(i\Delta x,n\Delta t)$ 点上有限差分格式 $L^n_iu^n_i=f^n_i$ 的截断误差为：

$\tau^n_i=(\mathcal{L}\phi-f)^n_i -(L^n_i\phi^n_i-f^n_i)$

如果 $\tau^n_i$ 逐点满足：

$\lim_{\Delta x\rightarrow0,\Delta t\rightarrow 0}\tau^n_i=0$

或者以 $\tau^n_i$ 为第 $i$ 个分量的 $n$ 时刻截断误差向量 $\tau^n$ 在某种范数意义下满足：

$\lim_{\Delta x\rightarrow0,\Delta t\rightarrow 0} \parallel \tau^n \parallel=0$

则称差分格式是相容的或具有相容性。

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