混沌运动与初值敏感性、长期轨道运动的不可预测性及“失之毫厘，差之千里”的运动不稳定性联系在一起。人们直观地认为混沌运动难以控制，如要控制就必须做大的动作，或修改系统参数使系统走出混沌区，或用大的外加控制力强力抑制混沌。但1990年E.奥特^[注]、C.格瑞博基^[注]和J.A.约克^[注]发现混沌可以以微调的方法加以控制，并在实现控制后这些微调值实际几乎为零，它保证混沌系统在不改变系统其他参数条件下作非混沌（不动点、周期等）运动。这种控制称为OGY控制。OGY控制有两个出发点：一是混沌吸引子中包含大量的非混沌运动状态和轨道，它们在原混沌系统中存在，只是不稳定；二是混沌运动在混沌吸引子上遍历，系统会由自身运动无限接近混沌吸引子内部存在的任何不稳定轨道。而OGY控制方法的核心是：①借力打力，将系统内已存在的某个不稳定轨道作为控制目标；②守株待兔，在目标轨道附近设置控制窗口，待混沌轨道进入窗口时启动控制；③利用负反馈控制不稳定流形。这些保证了控制信号的微调性质，以及实现控制后负反馈信号归零，保证系统在不改变原混沌参数的条件下运动在系统固有的不稳定目标轨道上。其具体操作是：利用混沌轨道的实验数据找到目标轨道与其设定某相平面的相交不动点；确定不动点附近的各种不稳定方向及不稳定本征值；测定实际轨道在不动点附近小窗口中在各不稳定方向上的偏离值；确定在微调系统参数时系统不动点的位置移动规律。由这些数据可算出消除轨道在不稳定方向上偏离所需的参数微调值；在启动控制并实现控制目标后控制信息归零。以上混沌控制的计算和操作过程并不需了解混沌系统的动力学结构，而只依赖于对实验可测数据的分析，方便可行。

OGY控制有很多优点，但也存在一些问题，例如控制窗口的选择。窗口太大控制信号也就增强，特别是非线性因素会使控制对数据质量要求和控制计算复杂性大大增加。而窗口太小则等待时间会很长，控制效率降低。在OGY控制之后一系列的混沌控制方法陆续提出，各自适用于不同的实际混沌环境。分别介绍如下：

①OGY方法的一种直接推广是用持续的负反馈，将轨道导向控制目标。这种做法的优点是以选定的规则态为目标，不受窗口约束，控制后也能保持原系统的动力学，实现控制信号归零的OGY目标。但缺点是控制过程中注入信号会很大，并要求对混沌系统的及时全程观测和对目标轨道的全程掌握，在有些混沌系统中这种要求很难做到。

②为克服包括OGY在内的各种反馈方法的困难，人们发展了许多非反馈控制的手段。其核心是用外加信号影响原混沌系统，把系统驱动到某一非混沌状态上，周期驱动是这类控制的典型做法。控制的核心是利用小周期驱动与混沌吸引子中存在的原来不稳定的周期轨道共振而将其稳定从而抑制混沌。这种控制方法不依赖窗口设计和大量精细的数据采集，只依赖对混沌吸引子中不稳定轨道的大概了解，实现控制后对原系统也没有重大改变。但其缺点是实现控制后必须保持非零控制信号来维系控制结果，对控制目标不能随意选择，控制信号会不同程度的改变原系统。

③非线性系统常常有包括混沌吸引子和非混沌规则运动在内的多吸引子共存的结构。对这类系统人们发展了一种迁移控制的方法。用短暂的驱动信号将系统状态从混沌吸引子上迁移到某目标规则运动吸引子的吸引域内，然后让其自发地演化到规则吸引子上去而控制混沌。这种方法在实现控制后控制信号也可归零，并不改变原系统的结构，既保持了非反馈控制的优点，又避免了其窗口要求和数据精确测量要求的困难。但这种控制要求系统本身存在所需要的多吸引子结构，并通过对结构的掌握设计瞬态过程的驱动信号，这也并不是总能做到，而且目标态的选定也很不灵活。值得指出的是心脏系统通过电击去室颤就属于这种控制方法。室颤是典型的心脏动力学的强混沌态，而心脏系统还存在与之共存的规则节律跳动的状态。对处于室颤的心脏电击使其停止包括室颤在内的各种心跳行为，而使心脏系统“还原”到规则节律运动的吸引域内。当窦房结驱动恢复心肌跳动时心脏动力学自发回到正常的规则跳动吸引子，从而恢复健康的心脏运动。

此外还有大量的混沌控制方法，每种方法都有其优缺点，各自适合不同的系统环境，混沌控制的研究就是要从中寻找适合实际条件的优化控制手段。

混沌控制研究初期绝大多数方法都针对低维混沌系统，如OGY控制对每一个不稳定流形采用一种控制信号。对高维混沌相空间有大量不稳定方向，这种控制就很不现实。特别是时空混沌实际上普遍存在，对它们控制的意义极为重大，对它们控制既不能实现对大量不稳定方向逐个控制的算法，也无法等待系统运行到任何指定的控制窗口，OGY控制就完全不实际。从上述反馈和非反馈控制发展而来的时空混沌控制有若干类：一类是以已知的规则时空态为目标在空间不同部位加入反馈信号，在各个局部控制混沌运动到目标态，称为钉扎，并通过空间耦合将控制效果传播到整个空间，达到全局控制时空混沌；另一类是进行局部注入非反馈的信号如周期信号，在时空系统中形成规则波运动，并在控制波传播中利用波的竞争机制抑制混沌波和湍流以达到控制时空混沌。在所有这些反馈和非反馈的局域控制方法中，控制信号在空间的扩散和传播是个关键。对具有极高维的时空混沌系统，常常可以用比不稳定维数少得多的局域控制信号控制时空混沌。特别在强非对称空间耦合的时空系统中，这种利用局域信号控制全局时空混沌可以达到极高效率，甚至可以用单一控制信号控制具有大量正李雅普诺夫指数的高维时空混沌。除上述局域控制方法外，还有各种全局时空场的模式控制方法等等。

自C.惠更斯于17世纪实现两钟摆的同步振荡后，同步化问题一直在物理、化学、生物等各个领域受到普遍重视，先前的同步研究都以周期运动为对象。由于运动的非周期性和轨道分离的敏感性，初期人们普遍不认为混沌运动有同步化的问题，直到1990年，即OGY提出混沌控制的同一年，L.M.佩科拉^[注]等人开始了混沌同步的研究。尽管混沌同步和混沌控制开始是不同研究团队针对混沌运动似乎完全不同的研究方向，但人们很快发现佩考拉的混沌同步就是一种特殊的混沌控制，是用一种混沌信号对似乎混沌系统的控制。例如给定一个维混沌驱动系统：，，，，用其驱动信号去控制另一具有相同结构的响应系统，，，特解，显然是响应系统的解。由于为混沌解，此解称为同步于的同步混沌解。如果在响应系统中以同步混沌解为参考态的所有李雅普诺夫指数均为负，则同步混沌解稳定，这时响应系统是一个具有同步混沌轨道解的非混沌系统。它的非混沌性是因为该系统不具有任何初值敏感性，任何对目标混沌轨道的偏离都会在运动中收缩而最终回到原目标轨道，混沌同步是因为响应系统对混沌驱动信号的锁定。

以后人们发现并提出了各种混沌同步的模式。首先是耦合混沌系统之间的同步。对于两个全同的混沌系统，，存在同时满足这两个方程的同步混沌解，但它们不稳定，即较小的的偏离就会引起差值的指数发散的增大。在适当的耦合下，，的同步混沌解仍然是耦合方程的解。而这时如果耦合方程中同步混沌解的参考态在相平面的横截方向李雅普诺夫指数为负，所有的偏离都会在演化中收缩，而回到同步混沌态上，使混沌同步解稳定。这样的耦合系统是混沌的并且同步的，是相同混沌系统之间的互同步。上述同步中混沌轨道完全相等，称为精确同步。而不同混沌轨道之间也可以实现同步，称为广义同步。用一个混沌系统的输出去驱动原本混沌的响应系统，如果响应系统在驱动条件下所有李雅普诺夫指数为负，和之间会产生一个锁定值，即成为的连续函数。在广义同步中，响应和驱动系统不相同，甚至具有不同的维数，而在函数关系中也可具有比更高的信息维数（在函数不可微的时候）。混沌同步的研究内容极为丰富，如振荡型的不同混沌轨道之间可能实现振幅互不相同而平均频率之间的锁定的相同步；也可能在某确定时间差上达到接近同步的滞后同步；特别是在21世纪以来，平行于时空混沌控制的研究，时空混沌同步的研究也受到重视，其中不同空间格点的混沌轨道组成不同同步团簇的现象备受关注，称为部分混沌同步，该现象的发现引发时空混沌系统自组织斑图和演化动力学的研究热点；近年复杂网络上的混沌同步，包括其部分混沌同步，爆炸混沌同步等课题形成混沌同步研究的新潮流。

混沌控制与同步的研究不仅是非线性动力学的理论问题，任何对混沌运动的实际应用都离不开对它的控制和同步。就混沌控制而言：混沌运动和高维的时空混沌或湍流运动由于其初值敏感的不稳定性，常常是有害的运动形式，人们需要寻找各种有效手段抑制混沌；但有时混沌则是有利的运动形态，如当需要加速扩散、混合和均匀化时混沌态常常优于规则态，这就需要利用控制产生所需的混沌运动；另外，混沌态内容丰富，包含大量可供选择的规则态，即使在抑制混沌时人们也可有目的地灵活挑选混沌态中内含的有利的目标态，并在任务改变时根据需要在混沌吸引子中不同的规则态之间迁移，大大扩大对系统的应用效率与范围。混沌控制的应用在自然科学和社会科学的各交叉学科中受到广泛重视，特别是在心脏动力学及相关疾病的处理方面有较多期盼。许多心脏疾病来自功能性的问题，例如房颤、室颤等经常是典型的心肌组织系统的时空混沌的动力学问题。前面所说的大电击去室颤的方法正是一类迁移混沌控制方法。但大电击副作用较大，引起很多痛苦和不可避免的心肌损伤。人们发展用小电压信号做连续周期驱动的方法，力求利用驱动产生的规则激发波控制心肌组织以防止心肌组织进入颤动状态；消除颤动状态于开始阶段；以及控制已发展的心肌湍流波时空混沌等等，这都是混沌控制进入实际应用的努力。

混沌同步的最广泛和最受期待的应用是混沌通讯。混沌运动的初值敏感性使人们期待混沌数据可能用于加密信息，不同混沌系统之间同步的研究又使人们可以利用混沌信号进行可靠的通信交流，自1990年佩克拉的混沌同步工作后混沌通讯研究几十年来受到广泛重视。从传统保密通信的角度审视，混沌保密通信还存在一系列问题。首先是保密性问题：由于混沌轨道数据包含系统的信息，可利用通信数据重构原系统结构，从而破解混沌信号所携带的加密内容；另有混沌轨道计算机实现的周期性问题：由于计算机精度有限任何由计算机实现的混沌轨道都是周期，这又给破译其加密内容提供另一种可能；再有混沌加密数据的计算代价问题：由于混沌轨道短期可预测而长期不可预测，人们需要从大量混沌轨道数据中采用少量密钥数据，这带来了混沌加密运算的低效率和高计算代价。但在混沌通信研究中这些困难在被逐一克服。如可利用各种低位取模操作放大混沌信号的实际李雅普诺夫指数，极大提高保密程度；利用各种时空混沌大大加长混沌轨道计算机实现的周期；及利用时空混沌的多通道并行加密显著提高加密操作效率等等。利用混沌信号进行各种保密通信和图像加密的应用研究在迅速发展，混沌加密的各种性能也得到很快提高。由于混沌系统的极大丰富性和多样性，混沌加密和通信正在成为经典保密通信和加密手段的一个重要补充资源。