再生核希尔伯特空间

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/Hilbert space with a reproducing kernel/

条目作者杜拴平白朝芳

条目作者杜拴平

杜拴平

白朝芳

最后更新 2024-12-03

浏览 133次

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具有再生核的希尔伯特空间。

英文名称: Hilbert space with a reproducing kernel

所属学科: 数学

设 $X$ 是一个集合， ${\mathcal H}$ 是由函数 $f:X\rightarrow {\mathcal C}$ 构成的希尔伯特空间，若线性泛函：

$L_x:f\rightarrow f(x), \forall f\in{\mathcal H}$

有界，即存在 $M>0$ ，使得 $|L_x(f)|=|f(x)|\leqslant M\|f\|_{\mathcal H}, \forall f\in{\mathcal H}$ 。称 ${\mathcal H}$ 是再生核希尔伯特空间。由里斯表示定理，存在 ${\mathcal H}$ 中的元 $K_x$ 使得 $L_x(f)=f(x)=<f, K_x>, \forall f\in{\mathcal H}$ 。对任一 $y\in X$ ，由于 $K_y\in{\mathcal H}$ ，所以 $K_y(x)=<K_y,K_x>$ 。由此可以定义 ${\mathcal H}$ 上的再生核 $K:X\times X\rightarrow {\mathcal C}$ 如下：

$K(x,y)=<K_x,K_y>$

易见， $K(.,.)$ 具有对称性与正定性。由摩尔-阿龙扎扬（Moore-Aronszajn）定理知，如果函数 $K$ 具有对称性与正定性，则一定存在定义在 $X$ 上的由函数构成的希尔伯特空间 ${\mathcal H}$ ，使得 $K$ 是 ${\mathcal H}$ 的再生核。

例如，固定 $a<+\infty, {\mathcal H}=\{f\in L^2({\mathcal R}):\mbox{supp}(\phi)\subseteq [-a,a]\}$ 。

式中 $\phi(y)=\int f(x)\text{e}^{-iyx}\text{d}x$ 是 $f$ 的傅里叶变换。核函数 $K_x(y)=\frac{\sin(a(y-x))}{\pi(y-x)}$ 。

扩展阅读

YOSIDA K．Functional Analysis．Beijing-Guangzhou-Shanghai：Springer-Verlag，1999．