范德瓦尔登检验

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/Van der Waerden test/

条目作者柏杨

柏杨

最后更新 2024-12-03

浏览 162次

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利用秩在标准正态中对应的分位数构造统计量，对多个独立样本的总体分布是否有显著差异进行的检验。

英文名称: Van der Waerden test

所属学科: 统计学

范德瓦尔登检验的原假设为各个总体的分布相同，假设有 $k$ 组样本，每组样本的样本量为 $n_j(j=1,2,\ldots,k)$ ，令 $N$ 为总的样本量， $X_{ij}$ 表示第 $j$ 个组的第 $i$ 个观察值，则可计算正则得分为：

$A_{ij}=\Phi^{-1}(\frac{R(X_{ij})}{N+1})$

(1)

式中 $R(X_{ij})$ 为 $X_{ij}$ 的秩； $\Phi^{-1}$ 为正态函数的分位数函数。进而有 $\overline A_j=\frac{1}{n_j}\sum^{n_j}_{j=1}A_{ij}$ ，其中 $j=1,2,\cdots,k$ ； $s^2=\frac{1}{N-1}\sum^k_{j=1}\sum^{n_j}_{i=1}A_{ij}^2$ ，则可构造检验统计量为：

$T_1=\frac{1}{s^2}\sum^k_{j=1}n_j\overline A_j^2$

(2)

该统计量服从自由度为 $k-1$ 的卡方分布，进而可以依次构造拒绝域。

例如，从3个总体分别抽取样本量均为4的3个样本，数据见表。

抽取样本量均为10的3个样本数据表
样本1	6	10	2	18
样本2	4	17	2	2
样本3	13	17	15	12

建立原假设 $H_0$ ：3个总体的分布相同，备择假设 $H_1$ ：3个总体的分布不同。用范德瓦尔登检验计算得统计量 $T_1=3.584$ ，给定显著性水平为0.05，由于 $T_1=3.584<\chi^2_{0.95}(3-1)=5.991$ ，故不拒绝原假设，认为3个总体的分布相同。

扩展阅读

HÁJEK J，ŠIDÁK Z，SEN P K．Theory of Rank Tests．San Diego：Academic Press，1999．