特征根估计

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/eigenvalue estimation/

最后更新 2024-12-03

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在主成分分析中，在将一系列可能线性相关的变量通过正交变换转化为一系列线性无关的变量（称为“主成分”）过程中，其中涉及矩阵特征分解，计算特征根的过程。特征根估计可用于计算累积贡献率，从而确定重要主成分的数量。

英文名称: eigenvalue estimation

所属学科: 统计学

对样本协方差矩阵进行特征分解，得到主成分（即特征向量）权值（即特征值）。假设有 $p$ 个变量 $x_1,\cdots,x_p$ ，每个变量有 $n$ 次观测。 $X=(x_1,\cdots,x_p)$ 是一个 $n\times p$ 维的样本矩阵，假设每个变量都已经中心化（ $X$ 的列均值为0）， $\Sigma=\frac{1}{n-1}X^\mathrm TX$ 为样本协方差矩阵。对 $\Sigma$ 进行特征分解： $\Sigma=V\Lambda V^\rm T$ ,其中 $V=(v_1,\cdots,v_p)$ 为由特征向量作为列构成的矩阵， $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_p)$ 表示由与特征向量对应的特征值构成的对角阵（对角阵 $\Lambda$ 中的 $\lambda_i(i=1,\cdots,p)$ 为 $\Sigma$ 的特征值，对应的特征向量为 $v_i$ ）。

扩展阅读

王学民．应用多元分析．3版．上海：上海财经大学出版社，2009．