加权残数法把微分方程边值问题的解假设为满足边界条件的独立函数族（称为试函数）的线性组合，然后令误差与所选择的权函数乘积在边界之间的区域上积分为零，导出线性组合系数所需要满足的条件。权函数与试函数相同的加权残数法，称为伽辽金法。1915年，B.伽辽金用满足边界条件的级数展开研究杆和板的平衡问题，为加权残数法的开始。

伽辽金法既可以近似求解偏微分方程的边值问题，也可以近似求解常微分方程的边值问题。求解偏微分方程时，将偏微分方程离散为一组常微分方程组。求解常微分方程时，将方程离散为一组代数方程组。方程组中方程的个数即是所选择试函数的个数。

现以变截面欧拉-伯努利梁的阻尼受迫振动说明伽辽金法的应用。水平梁的长度为，材料密度为，截面积为，梁的抗弯刚度为。梁受到黏性阻尼力，黏性系数为。铅垂向下分布力作用在梁上。则梁向下的位移满足振动方程：

将位移表示为满足边界条件的线性独立的试函数族的线性组合，即：

式中为广义坐标。对于任意给定的函数，代入振动方程后两端之差通常不为零，成为与函数相关的泛函，称为振动方程的残数：

加权残数法使函数的残数近似为零，以导出广义坐标所需要满足的常微分方程组。对于长度为的一维连续系统，残数在连续体范围内的加权平均值为零的条件可表示为：

其中为一组权函数。伽辽金方法将权函数也取为试函数族，即：

上式为个关于的常微分方程。为使伽辽金方法更为精确，可以选相应保守系统自由振动的振型函数为试函数。为确定振型函数，需要求解满足边界条件的常微分方程：

仍采用伽辽金方法。以均匀梁的振型函数为试函数，则方程解近似写为：

式中为待定系数。仍以振型函数为权函数，有：

引入质量矩阵，刚度矩阵和列阵，上式整理为：

其中

为矩阵的特征值问题。

伽辽金法可用于近似计算连续体振动的响应，把偏微分方程的边值问题离散化为一组常微分方程组。就导出连续振动系统离散化方程目标而言，与假设模态法一致。但假设模态法是从力学的功能关系出发，伽辽金法是从连续体系统振动方程出发。假设模态法中的振型函数只需要满足几何边界条件，伽辽金法中的试函数和权函数需要满足所有边界条件。

伽辽金法也可用于确定连续体振动的固有频率和振型函数，将分离变量后的空间方程离散化后导出矩阵特征值问题。若试函数相同，在通常的边界条件下，用伽辽金法导出的特征值与瑞利-里兹法和假设模态法所导出的相同。与瑞利-里兹法中仅要求试函数满足几何边界条件不同，伽辽金法中的试函数必须满足所有边界条件。

伽辽金法原则上可以分析任何已具备振动方程的系统。不局限于保守系统，也不要求连续振动系统有自伴性。更重要的是，伽辽金法不局限于线性振动，可将描述连续体非线性振动的非线性偏微分方程离散为非线性常微分方程组。在研究非保守非线性问题时，试函数通常选为相应保守线性系统的振型函数。