埃奇沃思展开

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/Edgeworth expansion/

条目作者何凯

何凯

最后更新 2024-12-03

浏览 162次

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把一个随机变量的概率密度函数写成级数的形式，级数中的每一项是用该随机变量的各阶矩来表达的方法。

英文名称: Edgeworth expansion

所属学科: 统计学

以爱尔兰经济学家F.Y.埃奇沃思的名字命名，埃奇沃思展开可以把一个随机变量的概率密度函数写成级数的形式，级数中的每一项是用该随机变量的各阶矩来表达。俄国数学家P.L.切比雪夫和埃奇沃思提出了扩展分布函数的想法，他们讨论了独立随机变量展开式的形式构造，即埃奇沃思展开。瑞典数学家H.克拉默^[注]为这种形式的展开式提出了详细而严格的理论。之后，众多学者对这一领域拓展研究。

设随机变量 $X$ 的期望为 $\mu$ , 方差 $\sigma^2>0$ 有限， $\begin{align*} Y=\frac {X-\mu} {\sigma} \end{align*}$ 的特征函数

$\begin{align*} \varphi(t)=\sum\limits_{j=0}^\infty \frac {({\rm i}t)^j} {j!}\mu_j \end{align*}$

式中 $\begin{align*} \mu_j=E(Y^j) \end{align*}$ 为 $Y$ 的 $j$ 阶原点矩。

累积量生成函数 $\begin{align*} \ln\varphi(t)=\sum\limits_{j=1}^\infty \frac {({\rm i}t)^j} {j!}\kappa_j \end{align*}$ ，其中 $\kappa_j$ 称为 $Y$ 的 $j$ 阶累积量. 例如有

$\begin{array}{ll} \kappa_1=\mu_1=E(Y)=0\\ \kappa_2=\mu_2-\mu_1^2={\rm var}(Y)=1\\ \kappa_3=\mu_3-3\mu_2\mu_1+2\mu_1^3=E(Y-E(Y))^3=E(Y^3)\\ \kappa_4=\mu_4-4\mu_3\mu_1-3\mu_2^2+12\mu_2\mu_1^2-6\mu_1^4 =E(Y-E(Y))^4-3({\rm var}(Y))^2=E(Y^4)-3 \end{array}$

设 $\{X_i\}$ 为独立同分布的随机变量序列, 均和 $X$ 同分布, 部分和序列 $\begin{align*} S_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i \end{align*}$ ，则 $\frac {S_n-n\mu} {\sigma\sqrt{n}}$ 的特征函数为

$\begin{array}{ll} \varphi^n\left(\frac t {\sqrt{n}}\right) &={\rm e}^{-\frac {t^2} 2+\sum\limits_{j=3}^\infty n^{1-\frac j 2}\frac {({\rm i}t)^j} {j!}\kappa_j} \\ &={\rm e}^{-\frac {t^2} 2}\left(1+\sum\limits_{j=1}^\infty n^{-\frac j 2}r_j({\rm i}t)\right) \end{array}$

式中 $\begin{align*} r_j(x)=c_3x^3+c_4x^4+\cdots+c_{3j}x^{3j} \end{align*}$ 为 $3j$ 次多项式, 与 $\kappa_3,\cdots, \kappa_{j+2}$ 有关, 但与 $n$ 无关，且若 $j$ 为奇数, 则 $r_j(x)$ 只包含 $x$ 的奇次方项；若 $j$ 为偶数, 则 $r_j(x)$ 只包含 $x$ 的偶次方项, 例如

$\begin{align*} r_1(x)=&\frac {\kappa_3} {6}x^3,\\ r_2(x)=&\frac {\kappa_4} {24}x^4+\frac {\kappa_3^2} {72}x^6 \end{align*}$

令 $\begin{align*} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{{\rm i}tx}\,{\rm d}R_j(x)=r_j({\rm i}t){\rm e}^{-\frac {t^2} 2} \end{align*}$ ，即

$\begin{align*} R_j(x)=r_j\left(-\frac {{\rm d}} {{\rm d}x}\right)\Phi(x) \end{align*}$

式中 $\begin{align*} \Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x\phi(y) \,{\rm d}y \end{align*}$ 为标准正态分布随机变量的分布函数， $\begin{align*} \phi(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac {x^2} 2} \end{align*}$ 为标准正态分布随机变量的分布密度函数。

则有埃奇沃思展开

$\begin{align*} P\left(\frac 1 {\sigma\sqrt{n}}(S_n-n\mu)\leqslant x\right) =\Phi(x)+\sum\limits_{j=1}^\infty n^{-\frac j 2}R_j(x) \end{align*}$

记埃尔米特多项式

$\begin{align*} H_j(x)= \frac {{\rm d}^j} {{\rm d} \alpha^j}\exp\left(\alpha x- \frac {\alpha^2} 2\right) \Big|_{\alpha=0}=\frac {(-1)^j} {\phi(x)} \frac {{\rm d}^j\phi(x)} {{\rm d}x^j} \end{align*}$

它为 $j$ 阶多项式, 例如

$\begin{align*} H_0(x)=&1,\\ H_1(x)=&x,\\ H_2(x)=&x^2-1,\\ H_3(x)=&x^3-3x,\\ H_4(x)=&x^4-6x^2+3,\\ H_5(x)=&x^5-10x^3+15x \end{align*}$

则

$\begin{align*} R_j(x)=-(c_3H_2(x)+c_4H_3(x)+\cdots+c_{3j}H_{3j-1}(x))\phi(x) =p_j(x)\phi(x) \end{align*}$

其中 $p_j$ 为 $3j-1$ 阶多项式. 例如

$\begin{align*} p_1(x)=&-\frac {\kappa_3} 6H_2(x)=-\frac {\kappa_3} 6(x^2-1),\\ p_2(x)=&-\frac {\kappa_4} {24}H_3(x)-\frac {\kappa_3^2} {72}H_5(x) =-\frac {\kappa_4} {24}(x^3-3x)-\frac {\kappa_3^2} {72}(x^5-10x^3+15x) \end{align*}$

若 $\begin{align*} E(|X|^{j+2})<\infty \end{align*}$ 且满足克拉默条件 $\begin{align*} \limsup\limits_{|t|\to\infty}|\varphi(t)|<1 \end{align*}$ ，则

$\begin{align*} P\left(\frac 1 {\sigma\sqrt{n}}(S_n-n\mu)\leqslant x\right)=\Phi(x) +n^{-\frac 1 2}p_1(x)\phi(x)+\cdots +n^{-\frac j 2}p_j(x)\phi(x)+o\left(n^{-\frac j 2}\right) \end{align*}$

林德伯格-莱维中心极限定理只考虑标准化部分和序列分布函数展开到第一项 $\Phi(x)$ ，埃奇沃思展开可理解为中心极限定理的推广——分布函数的高阶展开, 它主要应用于逼近统计量的真实分布, 是自助法的理论基础。

扩展阅读

PETROV V V．Sums of Independent Random Variables．New York：Springer，1975．
FELLER W．An Introduction to Probability Theory and its Applications．New York：Wiley，1971．
BHATTACHARYA R N, RAO R R．Normal Approximation and Asymptotic Expansions．New York：Wiley，1976．
HALL P．The Bootstrap and Edgeworth Expansion．New York：Springer-Verlag，1993．
BICKEL P J，GÖTZE F， VAN ZWET W R．The Edgeworth Expansion for U-Statistics of Degree Two．The Annals of Statistics，1986，14(4)：1463-1484．