德国数学家G.康托尔创立集合论之后，人们陆续发现在素朴集合论中存在悖论。为了避免悖论，策梅洛于1908年提出了第一个公理化集合论系统，该系统建立在带等词的一阶谓词逻辑基础之上，包含“集合”和“属于”2个初始概念和7条公理：①外延公理：两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。②初等集公理：存在一个不含有任何元素的集合，即空集；有一个以两个已知集为元素的集合。③子集公理：如果对于集合A中的任何元素都能确定其是否具有性质P，则A中所有具有性质P的元素构成一个集合。④并集公理：一个集合的元素的元素构成一个集合。⑤幂集公理：一个集合的所有子集构成一个集合。⑥无穷公理：存在一个集合I，它包含元素空集，并且对于I中的任一元素a，其后继a∪{a}也是I的元素。⑦选择公理（简记为AC）：对于一个不包含空集且元素两两不相交的集合S，由S的诸元素中各选择一个元素可以构成一个集合。后来弗兰克尔对策梅洛的公理系统作了改进，所得公理系统被称为策梅洛-弗兰克尔系统，简记为ZF系统。其中包含6条公理：①外延公理。②替换公理。③并集公理。④幂集公理。⑤正则公理。⑥无穷公理。ZF系统如果加上选择公理，则构成ZFC系统。