计算共形几何主要研究下列基础计算问题：共形结构和共形不变量、共形黎曼度量、黎曼面上的半纯微分和曲面的叶状结构、黎曼面之间的调和映射、共形和拟共形映射。共形结构带有任意拓扑的紧曲面上给定一个黎曼度量，计算度量所决定的共形结构，计算曲面的全系共形不变量。共形度量计算度量曲面的单值化度量，即和初始度量共形等价的常高斯曲率度量；给定目标高斯曲率，计算和初始度量共形等价的黎曼度量，并且这一度量诱导目标高斯曲率。曲面间的映射给定带度量的曲面，或者黎曼面，计算曲面之间的调和映射；如果曲面间存在共形映射，计算共形映射；如果不存在共形映射，计算极值拟共形映射，泰希米勒（Teichmüller）映射；给定贝尔特拉米（Beltrami）微分，求解贝尔特拉米方程，得到相应的拟共形映射。黎曼面上的微分给定黎曼面，计算其上的全纯1次微分形式(holomorphic 1-form），全纯二次微分（holomorphic quadratic differentials），计算曲面的叶状结构（foliations）。

经典共形几何理论是建立在光滑流形上面的。在计算机科学领域，曲面经常被表示成分片线性的多面体，即离散曲面。共形几何的经典理论无法直接应用在离散曲面之上，因此需要被推广到离散情形。霍奇理论经典的霍奇理论断言，黎曼流形的每一个上同调类中，存在唯一的调和微分形式。霍奇理论可以直接推广到离散曲面上。离散曲面里奇流几何分析中的里奇流（Ricci flow）将黎曼度量进行形变，形变量和当前曲率成正比，使得曲率依随时间演化，演化规律遵从非线性热流方程，最终曲率函数成为常数。里奇流成功地证明了庞加莱猜想。曲面里奇流保持黎曼度量的共形类不变。连续曲面里奇流的理论可以被推广到离散情形，离散曲面里奇流解的存在性、唯一性，离散解到连续解的收敛性都已经建立起来。离散单值化定理经典单值化定理断言，给定一张带有黎曼度量的封闭曲面，存在一个单值化黎曼度量和初始度量共形等价，并且诱导常值高斯曲率。曲面的万有覆盖空间在单值化度量下和三种典范空间等距，球面、欧氏平面和双曲平面。由离散曲面里奇流理论，单值化定理可以被推广到离散度量曲面之上。

计算共形几何的主要计算方法包括度量曲面间的调和映射方法、基于霍奇理论(Hodge Theory)的全纯微分方法和离散曲面曲率流的方法。调和映射方法给定两张亏格为1、带黎曼度量的封闭曲面，它们之间映射度为1的调和映射是共形映射。这一算法将任意映射度为1的初始映射，应用非线性热流方法变换成调和映射，从而得到共形映射。全纯微分方法这种方法计算黎曼面上的全纯1次微分形式，然后积分全纯微分形式得到曲面到平面区域的共形映射。这种方法首先计算曲面的一维下同调群的基底，其次计算对偶的一维上同调群基底，然后计算调和1形式上同调群的基底，最后计算曲面全纯1形式群的基底。这种方法可以计算带度量曲面到平面区域的共形映射，例如亏格为1的封闭黎曼面到平面上的映射、拓扑环带到平面上标准环带的映射以及具有多条边界、亏格为0的曲面到带有狭缝的平面区域的映射等等。结合克贝（Koebe）迭代，这种方法可以计算曲面到平面圆域（即平面去掉一些标准圆盘）间的共形映射。离散曲面曲率流几何分析中的里奇流(Ricci flow)将黎曼度量进行形变，形变量和当前曲率成正比，使得曲率依随时间演化，演化规律遵从非线性热流方程，最终曲率函数成为常数。里奇流成功地证明了庞加莱猜想。曲面里奇流保持黎曼度量的共形类不变。由连续里奇流方法启发而发展出来的离散曲面里奇流方法能够由目标曲率来计算相应的黎曼度量，是构造黎曼度量强有力通用算法，适用于几乎所有拓扑类型的曲面的共形模计算、曲面间的共形映射。

计算共形几何已经被广泛应用于工程和医疗领域：例如在计算机图形学领域的曲面参数化，在计算机视觉领域的动态曲面配准、表情捕捉；在计算机辅助设计领域的流形样条构造；在网格生成领域的规则四边形曲面网格，六面体网格生成；在计算机网络领域的几何路由算法设计；在数字几何处理领域的几何逼近和形状分析；在计算力学领域的共形拓扑优化；在医学图像领域的共形脑图和虚拟肠镜等等。

在计算机科学的推动下，计算共形几何迅速发展。同时物理学、大数据、人工智能、生命科学等发展的需求对计算共形几何也提出了新的要求，计算共形几何的用途日益广泛而深刻。