T检验

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条目作者崔恒建

崔恒建

最后更新 2024-12-03

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一般认为检验统计量在零假设下服从或近似服从t分布的检验称作为t检验。对于一元正态总体均值的检验（方差未知），通常都是进行t检验。

英文名称: t test

所属学科: 数学

设 $X_1,X_2,\cdots, X_n$ 是来自一元正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，考虑如下总体均值 $\mu$ 的双边检验问题：

$H_0:\mu=\mu_{0}\longleftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_{0}(\mu_{0}\text{已知})$

当 $\sigma^{2}$ 未知时，用如下的 $t$ 检验统计量（ $t$ -statistics）进行检验，

$t=\frac{\overline X-\mu_{0}}{S/\sqrt n}$

式中 $\overline{X}=\frac 1n\sum_{i=1}^n X_i$ ， $S^2= \frac 1{n-1}\begin{matrix} \sum_{i=1}^n \end{matrix}(X_i-\overline{X})^2$ 。当 $H_0$ 成立时，统计量 $t$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布 $t(n-1)$ 。可利用 $t$ 分布上侧 $\alpha/2$ 分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 做假设检验：当 $|t|> t_{\alpha/2}(n-1)$ 时，则拒绝 $H_0$ ，这种检验法称为 $t$ 检验。同样，对于 $\mu$ 的单边检验问题，也可以做类似这样的 $t$ 检验。

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