离散偶极子近似方法

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/discrete dipole approximation; DDA/

条目作者赵军明

赵军明

最后更新 2022-12-23

浏览 154次

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一种可求解任意形状粒子光散射和吸收的数值方法，也可以用于求解一般电磁场问题。

英文名称: discrete dipole approximation; DDA

所属学科: 工程热物理及动力工程

该方法基于麦克斯韦方程组的基本解，将介质对光的响应表示为大量电偶极子的响应，通过求解这些偶极子的耦合作用方程组来得到各个偶极子的偶极矩，进而可得到总散射场以及各个测量，如散射截面、吸收截面、衰减截面及散射相函数等。离散偶极子方法最初由E.M.珀塞耳和C.R.彭尼帕克提出，后经过B.T.德雷纳等人进一步发展，并发布了离散偶极子近似的开源代码DDSCAT。

针对粒子散射问题，离散偶极子近似的离散过程可以描述如下。对于一个偶极子，在频率为 $\omega$ 的电场 ${\boldsymbol {E}}(\omega )$ 激励下的偶极矩为 ${\boldsymbol{p}}(\omega ) = {\varepsilon _0}\alpha (\omega ){\boldsymbol{E}}(\omega )$ ，式中 $\varepsilon_0$ 为真空介电常数； $\alpha$ 为偶极子的极化率。对于给定介电函数 $\varepsilon (\omega )$ 的粒子，其 $\alpha$ 可由克劳修斯-莫索蒂关系给出：

$\alpha (\omega ) = \frac{{3{d^3}}}{{4\pi }}\frac{{\varepsilon (\omega ) - 1}}{{\varepsilon (\omega ) + 2}}$ （1）

式中 $d$ 为偶极子间距。第 $j$ 个偶极子位置的总电场 ${\boldsymbol {E}}_j^{}$ 为该位置处外部激励电场 ${\boldsymbol{E}}_j^{\rm inc}$ 以及所有其他偶极子在该位置的极化电场 ${{\boldsymbol{A}}_{ji}}{\boldsymbol{p}}_i^{}$ 之和，即：

${\boldsymbol{E}}_j^{} = {\boldsymbol{E}}_j^{{\rm inc}} + \sum\limits_{i \ne j}^{} {{{\boldsymbol{A}}_{ji}}{\boldsymbol{p}}_i^{}}$ （2）

其中作用矩阵 ${{\boldsymbol{A}}_{ji}}$ 由电偶极子极化场定义为：

${{\boldsymbol{A}}_{ji}} = \frac{{{{\rm e}^{{\rm I}k{r_{ij}}}}}}{{{r_{ij}}}}\left[ {\left( {{k^2} + \frac{{{\rm I}k{r_{ij}} - 1}}{{r_{ij}^2}}} \right){\boldsymbol{I}} + \frac{{3 - 3{\rm I}k{r_{ij}} - {k^2}r_{ij}^2}}{{r_{ij}^2}}{{{\boldsymbol{\hat r}}}_{ij}} \otimes {{{\boldsymbol{\hat r}}}_{ij}}} \right]$ , $i \ne j$ （3）

式中 $k = \omega /c$ 为波矢； $\rm I$ 为虚数单位； ${\boldsymbol {I}}$ 为单位矩阵； ${r_{ij}} = \left| {{{\boldsymbol {r}}_{ij}}} \right|$ ， ${{\boldsymbol {r}}_{ij}} = {{\boldsymbol{r}}_i} - {{\boldsymbol{r}}_j}$ ， ${{\boldsymbol{\hat r}}_{ij}} = {{\boldsymbol{\hat r}}_{ij}}/{r_{ij}}$ ； ${\boldsymbol{r}}$ 为位置矢量。通过联立求解（2）式给出的方程组可以得到每一个偶极的偶极矩 ${\boldsymbol {p}}_i^{}$ 。粒子的衰减截面 ${C_{{\rm{ext}}}}$ 、吸收截面 ${C_{{\rm{abs}}}}$ 可以分别计算为：

${C_{{\rm{ext}}}} = \frac{{4\pi k}}{{{{\left| {{{\boldsymbol{E}}^{\rm inc}}} \right|}^2}}}\sum\limits_j^{} {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {{\boldsymbol{E}}_{{\rm inc},j}^*\cdot{{\boldsymbol{p}}_j}} \right]}$ （4）

${C_{{\rm{abs}}}} = \frac{{4\pi k}}{{{{\left| {{{\boldsymbol{E}}^{inc}}} \right|}^2}}}\sum\limits_j^{} {\left\{ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {{\boldsymbol{E}}_j^*\cdot{{\boldsymbol{p}}_j}} \right] - \frac{2}{3}{k^3}{{\left| {{{\boldsymbol{p}}_j}} \right|}^2}} \right\}}$ （5）

扩展阅读

Purcell E M, PENNYPACKER C R．Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains．The Astrophysical Journal，1973，186：705-714．
DRAINEB T．The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains．The Astrophysical Journal，1988，333：848-872．
DRAINE B T, FLATAU P J．User guide for the discrete dipole approximation code DDSCAT 7.3．arXiv preprint arXiv，2013，1305：6497．