人类对于传染病模型的研究始于瑞士数学家D.伯努利（Daniel Bernoulli，1700～1782）于1760年对于预防天花的研究。20世纪初，W.H.哈默和R.罗斯采用定量的方法研究了麻疹疾病的传播，并提出了著名的“质量作用原理”。1927年，受到已有研究的启发，W.O.奥克马克与A.G.麦肯德里克在对17世纪流行于伦敦的黑死病研究中提出了著名的SIR（易感态—感染态—移除态）模型。1932年，W.O.奥克马克与A.G.麦肯德里克又进一步提出了SIS（易感态-感染态-移除（免疫）态）模型病毒传播模型，并对病毒传播的阈值等问题开展了研究，奠定了病毒传播模型研究的基础。

长久以来，基于SIS和SIR模型的大量研究都假定了空间中的个体是均匀混合的（即每个感染状态的个体都可以等可能地感染易感染状态的个体）。直到20世纪末，复杂网络理论的飞速发展让人们发现现实中很多系统可以用复杂网络来描述，例如计算机网络、交通网络、电力网路、社交网络等，而且这些网络都展现了一些独有的特性。从此，基于复杂网络的流行病传播的研究开始成为流行病传播这一领域的主流方向。基于统计物理、概率统计、信息科学等多学科交叉开展的研究，一系列创新的理论和方法迅速被建立，取得了很多深刻的研究结果。一般来说病毒传播模型分为确定性模型和随机模型。确定性病毒模型是基于微分方程理论描述病毒传播的动态过程，通常是对处于感染或其他状态个体数量的确定性描述，可以看作是随机病毒传播模型的近似。

复杂网络的SIS病毒传播模型中节点划分为两种状态：健康态（susceptible）和感染态（infected）（图1）。对于网络结构中的每一个节点，在任意时刻只处于或者中的一个状态。记时刻网络中所有节点的状态向量为，表示节点在时处于感染态，表示节点在时处于易感态。当节点处于易感染态，可能被处于感染态的邻居感染，而处于感染态的节点会在一个随机时间内被治愈，恢复为易感态。

图1 SIS病毒传播模型

记网络的邻接矩阵为，假设节点间感染过程和节点上的修复过程均为Poisson过程且相互独立。记感染速率和恢复速率分别为和。此时病毒传播过程被描述为一个连续时间的马氏过程，转移率为：

在SIR病毒传播模型中节点状态划分为三类：易感态(susceptible)、感染态(infected)和免疫态(recovered)（图2）。任意节点在任何时间只处于某一种状态。处于感染态的节点会对处于易感态的邻居进行感染，而自身也会在一个随机时间内被治愈，进入免疫态；处于免疫态的节点在网络中不再感染其他节点也不会被其他节点感染。记时刻网络中所有节点的状态向量为，表示节点在时处于感染态，表示节点在时处于易感态，表示节点在时处于免疫态。

图2 SIR病毒传播模型

记网络的邻接矩阵为，假设节点间感染过程和节点上的恢复过程均为Poisson过程且相互独立。记感染速率和恢复速率分别为和。此时病毒传播过程被描述为一个连续时间的马氏过程，转移率为：

基于SIS和SIR模型以及相关扩展模型的复杂网络病毒传播研究中，其中最主要的问题是确定病毒在网络中爆发的阈值。

对于SIS模型来说，阈值问题大致描述为：当有效传染率不超过阈值时，病毒在网络上将快速的灭绝，反之，网络中存在一定比例的长期处于感染状态，也就是产生流行病。事实上，对于马氏的SIS模型来说，病毒将以概率1在网络上灭绝，而且时刻之前灭绝的概率关于指数递减。问题是什么条件下病毒会较快灭绝，什么条件下病毒灭绝时间较长。

记为邻接矩阵的谱半径。当有效传染率时，病毒灭绝的平均时间，而当大于等于网络的广义等周函数（generalized isoperimetric constant）时，这里是一个正常数，为网络节点个数。

SIR模型中的阈值问题主要是考虑在什么条件下最终网络上被感染过的节点的数目较小或较大。 若且初始感染数目较小时，最终网络上被感染过的节点的数目也较小，即对任意的，存在一个与网络相关的常数，，式中为最终被免疫的节点个数，为初始感染的节点个数。

为了能够对很多实际问题进行建模，文献中有很多工作考虑了SIS和SIR模型的扩展，包括传染率和恢复率非齐次的模型、非马氏模型、动态网络结构模型、SIRS、SEIR模型等，以及相依型的病毒传播模型。