最早由美国俄亥俄州立大学维也纳数学家和统计学家H.B.曼^[注]及其合作者美国俄亥俄州立大学统计学家D.R.惠特尼^[注]在1947年一篇论文中提出，用于检验两个分布函数是否相同及一个随机变量的分布函数是否严格大于另一个随机变量的分布函数，这也就是非参数统计中曼-惠特尼检验。

随机序定义了随机变量或随机向量之间的一种偏序结构，它是用来比较随机变量或随机向量之间大小、变异、形状及相依特征的一种非常有效的工具。随机序在过去70多年从理论上已得到了充分的发展，并已被广泛地应用于可靠性理论、经济学、金融学、统计学、生存分析、应用概率、运筹学、管理学和保险精算学等诸多热门研究领域。在不确定情况下进行决策时，随机序为决策者缩小了决策范围，并提供了重要的参考信息。

对于任何两个实数，可以利用定义在实数集上的二元关系，也即全序关系进行比较数值大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系。如果集合中只有部分元素之间可以比较，那么可定义一种偏序关系。例如，复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集上面的一个偏序关系。

在概率统计中，对于两个非退化的随机变量而言，很显然无法比较他们的具体取值的大小、形状和波动程度关系。随机序定义了一种偏序结构，提供了一种比较不同随机变量或随机向量之间一些特征函数的大小关系。例如，可以通过比较两个随机变量的分布函数、失效率函数或反失效率函数等特征函数来对随机变量进行大小排序，这就产生了普通随机序、失效率序和反失效率序。类似的，通过比较随机变量之间的洛伦兹函数或任意两个感兴趣的分位数之间的差函数的大小可以对随机变量的变异程度进行比较，这就产生了洛伦兹序和色散序。

对于一元随机变量，随机序可分为大小偏序、变异偏序和形状偏序三种。

对于两个随机变量和，比较他们之间取值大小的最直接方式是比较他们的期望值大小。然而，这种比较方法只关注了两个平均值的大小，并没有给我们提供这两个随机变量之间足够多的信息。而且，对于一些随机变量，其均值可能并不存在（如柯西分布）。为了更好地利用随机变量的分布特征信息，可以比较他们的分布函数或者一些与分布函数相关的函数，比如失效率函数、反失效率函数或者密度函数。大小偏序主要包括普通随机序、失效率序、反失效率序和似然比序四种。举例来说，如果随机变量和均服从指数分布且具有均值和，且参数满足，那么可以得到和的分布函数具有如下关系：，对任意的，这也就意味着以普通随机序大于。直观上可以理解为取大于任一给定的数值的概率不小于，这就在概率意义上给出了一种比较和取值大小的方式。

在许多实际场景中，人们可能更多地关心随机变量之间的变异程度或离散程度的比较，这就引入了一些研究随机变量之间变异程度的变异偏序。例如，对于两个随机变量和，如果他们的期望相等，则可以定义一种变异随机序来研究他们之间的变异程度的大小关系，也即随机序理论中的凸序。变异偏序主要包括四种：凸序、色散序、剩余财富序和峰态序。凸序描述了两个随机变量之间的波动程度，并已被广泛地应用于保险精算学上，在相依结构未知情况下，可用于建立随机变量之间累积和的上界。色散序和剩余财富序具有位置平移不变性，如果两个随机变量之间满足剩余财富序，那么他们的方差具有大小关系。峰态序是文献当中最早提出的变异偏序之一，它描述了随机变量关于各自对称中心绝对值距离的随机大小。例如，对于前面给出的两个指数型随机变量和，对于任意的满足，那么按照色散序的定义可以验证得到，这也就说明了以色散序大于。直观上可以理解为在任意两个固定分位数之间的取值间隔不小于，给出了一种比较和取值离散程度的方式。

不同于大小偏序和变异偏序，另外有一些随机序可以用来比较随机变量之间的“位置”大小和“伸展”程度，包括递增凸序、递增凹序、凸变换序、星序、超可加序等。凸变换序、星序及超可加序可以应用在可靠性工程领域研究不同协同系统之间相对退化速率。

类似于一元随机变量，还可定义比较随机向量之间大小、变异和形状特征的多元随机序。常见的多元随机序包括多元普通随机序、多元失效率序、弱多元失效率序、多元似然比序、上象限序、下象限序、多元递增凸序及多元递增凹序。对于各分量相依的随机变量，可定义多元联合随机序。相依型随机序主要包括联合通常随机序、联合失效率序、联合反失效率序和联合似然比序。此类随机序最初从二元情形定义，它不仅描述了两个随机变量之间的随机大小，也刻画了随机变量之间的正相依程度。

在各种随机比较的常见问题中，可用优化序建立不同随机序下成立的充分条件。对于两个相同维数的实数向量而言，优化序描述了他们各分量之间取值的均衡程度，常见的优化序类型包括常规优化序、上弱超优序、下弱超优序、乘积优化序及倒数优化序。

随机序理论已被广泛地应用于经济学、运筹学、金融学、保险精算、排队论、应用概率等诸多研究领域。当决策者在不同方案下进行抉择时，可借助于随机序对不同的策略进行排序，为决策者缩小了决策范围，并提供了可靠的指导信息。

普通随机序、递增凸序及递增凹序经常应用于经济学效用理论中，用以刻画投资者的风险偏好。具体来说，普通随机序描述了风险中性者，递增凸序描述了风险追求者，而递增凹序描述了风险规避者。在经济学领域，普通随机序又被称为一阶随机控制序，用以比较风险中性投资者在不同投资策略下的期望效用财富值。递增凹序又称之为二阶随机控制序，用以比较风险规避投资者的最终期望效用财富值。此外，在保险精算领域，递增凸序又称为止损序，用来比较不同损失或风险下的止损保费。例如，当保险公司面临不同的决策方案时，需要借助于一阶和二阶随机控制序对不同方案的前景进行排序，在保险费用固定的情况下，选取“好”的风险进行承保。

在可靠性理论中，描述随机变量大小的随机序可用于以下几个方面的研究：①研究元件寿命之间的随机关系对协同系统可靠性的随机影响；②协同系统中不同备件类型下冗余元件的最优分配问题；③不同协同系统之间的寿命比较问题。例如，对于一个串联系统，根据实际需要，可以研究以上三种不同随机序评判标准下冗余备件的最优分配问题。

在可靠性工程领域中，协同系统中元件寿命之间不但具有相依关系，而且具备随机大小关系，因而相依型随机序及多元随机序可用于描述及比较不同可靠性系统中元件寿命之间的随机特征，在这样的条件下可建立冗余元件的最优分配策略。

优化序在可靠性理论及保险精算领域有着极其重要的作用。例如，在可靠性理论中考虑冗余元件的最优分配策略时，可利用优化序比较不同分配策略之间的均衡程度关系，基于随机序理论进一步建立不同分配下的偏序关系。在保险精算中考虑投保者的保单限额和免赔额的最优分配策略时，也可以利用优化序对不同分配形式进行排序，进而建立风险中性投保者、风险规避投保者或者更符合实际场景的投保者的最优或者最差分配策略。