有效前沿投资组合最早由美国经济学家H.M.马科维茨^[注]在1952年发表的论文“投资组合选择（Portfolio Selection）”中系统提出，是投资组合理论的重要成果。假定投资者投资于多个资产，在满足给定预期回报率下，可以通过优化求解出风险最小的投资组合。所有的这些资产组合构成一条曲线（资产组合的标准差作为横轴，预期回报率作为纵轴），称为前沿资产组合曲线，这条曲线的上半部分称为有效前沿。因为下半部分没有投资者愿意持有，它上面每个点（投资组合），在上半部分都可以找到一个点，两者具有相同的风险，但有效前沿上的点具有更大的预期收益率。每个投资者根据自己的风险承受能力（效用函数）在有效前沿上选择自己的投资组合。

投资者希望投资组合具有高预期收益率和低风险，而风险能否用标准差度量需要一定的假设条件。当资产的收益率服从正态分布时，标准差是风险的完美度量。在现实中，虽然很多资产（如股票）的收益率不完全服从正态分布，但正态分布是其分布很好的近似，因此可近似用标准差衡量其风险。

投资组合理论认为资产组合可以分散风险。因为各个资产收益率的相关性不是很密切，资产组合的风险主要取决于各个资产之间的平均协方差。如果资产之间的相关系数较低，那么资产组合的风险可远远低于资产各自的风险。假定资产组合中各个资产的投资权重一样，即，资产组合的方差为：

式中为资产的收益率；为其收益率的方差；为资产和资产收益率的协方差；为资产组合的收益率。当资产组合包含的资产很多时，资产组合的方差接近协方差的平均值。如果资产之间的相关系数较低时，协方差的平均值也较低，则资产组合的风险也就较小。构造资产组合可以大大降低风险，同时不降低预期回报率。

一般而言，在同时存在风险资产和无风险资产的时候，投资组合构造则可以归纳为构造多个风险资产和一个无风险的组合。在研究投资组合时，分别构造多个风险资产的有效前沿组合以及加入无风险资产的有效前沿组合。风险资产的有效前沿组合可以通过最优化方法求解。引入如下记号：

①投资权重向量：

②1向量：

③个资产的预期收益率向量：

④个资产收益率的协方差矩阵：

求解风险资产投资组合前沿可以归纳为如下优化问题：

使得：

选择投资组合的权重向量，在满足给定的预期收益率下，最小化投资组合的方差。这是一个常见的最优化问题，解出的投资组合满足给定预期回报率，方差达到最小。令取不同的值，得到不同的最小方差资产组合。以标准差作横轴，预期回报率作纵轴，这些最小方差资产组合形成一条双曲线（图1）。单个资产的预期收益和风险都在双曲线的右边。双曲线被称为前沿资产组合，双曲线的上半部分构成有效前沿，投资者只在有效前沿上选择自己的资产组合。

图1 最小方差资产组合形成的双曲线示例图

上述优化问题可以很方便地加入一些更符合实际的条件，如卖空限制，只需要在约束条件里加上：。加上卖空限制，优化问题无分析解，但数值解非常容易求解，有效前沿的形状与上图类似。如果在投资组合里面再加入无风险资产，有效前沿就变成了无风险利率到风险资产有效前沿的切线，这条线也是由夏普比率最高的资产组合构成（图2）。对于任何包含无风险资产的资产组合，都可以看成无风险资产和风险资产的资产组合，这个组合应该在无风险资产和风险资产组合的连线上，这些线都在有效前沿的下方，投资者只在有效前沿组合上选择自己的投资组合。

图2 投资组合加入无风险资产示例图

有效前沿上有无数个点，这表示有无限多个投资机会。而对于投资者来讲，只能在上面选择一个点，这个选择问题完全由投资者的偏好来决定。画出描述投资者风险偏好的无差异曲线，与之前所得的有效前沿的切点即为该投资者所选择的资产组合（图3）。直观来讲，风险承受能力弱的投资者选择有效前沿偏左的点，风险承受能力强的投资者选择有限前沿上偏右的点。

图3 投资组合加入投资者风险偏好的示例图

马科维茨的投资组合理论奠定了现代金融理论发展的基础，并获得了诺贝尔经济学奖。金融学的另一个重要理论模型：资本资产定价模型（capital asset price model，CAPM），也建立在假定投资者持有有效前沿组合的基础上。投资组合理论是现代投资分析的重要基础，有效前沿投资组合在学术领域上仍然被广泛讨论。有效降低风险，提高收益构成了投资决策的核心理念之一。研究讨论标准差不能完全度量风险时如何有效构造投资组合，包括用半方差度量风险，引入偏度和峰度等，考虑它们对投资组合的影响。

在企业界，通过构造投资组合来降低风险是基金经理经常要做的工作。指数基金等被动式基金的工作原理在于帮助投资者分散投资风险，构造风险充分分散化的投资组合。主动型基金虽然承担一定的特有风险，但也要尽量分散风险。此外在业界，投资组合优劣的一个重要的评价标准是夏普比率的大小，经以上证明，有效前沿投资组合的夏普比率最大。