弹性稳定性的特征值问题

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/eigenvalue problem of elastic stability/

条目作者向志海

向志海

最后更新 2024-05-29

浏览 147次

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弹性系统稳定性理论中描述原始平衡路径上的不定平衡点的数学模型，可用于计算失稳临界载荷。用线弹性小挠度理论求解弹性结构失稳临界载荷时，可根据能量方法将该问题归结为偏微分方程的本征值问题，当离散化为有限自由度系统时，就归结为线性代数方程组的本征值问题。

英文名称: eigenvalue problem of elastic stability

所属学科: 力学

设弹性体的总势能为 $\varPi(q_1,q_2,\cdots,q_n,p)$ ，其中 $q_1,q_2,\cdots,q_n$ 为满足协调条件的独立的几何许可广义位移，除满足内部的协调条件外，还必须满足位移边界条件； $p$ 为施加的外载荷。

平衡状态下，总势能的一次变分为零：

$\delta\varPi=\sum^n_{i=1}\frac{\partial\varPi}{\partial q_i}\delta q_i=0$

式中 $\delta q_i$ 为几何许可位移的任意微小扰动。为了判断平衡状态的稳定性，还需考察总势能的二次变分：

$\delta^2\varPi=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\frac{\partial^2\varPi}{\partial q_i\partial q_j} \delta q_i \delta q_j$

若 $\delta^2 \varPi > 0$ ，则平衡状态是稳定的。若至少存在一种 $\delta q_i$ 使 $\delta^2 \varPi < 0$ ，则平衡状态是不稳定的。若某一种或几种 $\delta q_i$ 使 $\delta^2 \varPi = 0$ ，且其余的 $\delta q_i$ 都使 $\delta^2 \varPi > 0$ ，则对应于不定平衡状态。

用于求解所有的不定平衡状态的方程组可以表示为如下的矩阵形式：

$\left[\frac{\partial \varPi}{\partial q_i} \right] \{\delta q_i\}=([K_E]-\lambda [K_G] ) \{\delta q_i\}=0$

式中 $[K_E]$ 为结构的弹性刚度矩阵； $[K_G]$ 为与外载荷 $p$ 相关的结构的几何刚度矩阵； $λ$ 为与外载荷 $p$ 相关的参数。这个方程组是齐次方程组，不定平衡状态对应于它的非零解，而齐次方程组具有非零解的条件是：

$|[K_E]-\lambda[K_G]|=0$

以上就是对应于一个齐次线性代数方程组的本征值问题， $λ$ 为本征值（又称特征值）。失稳临界载荷的值就等于 $λp$ 。例如，在轴向压力 $F$ 作用下，一根弹性杆的本征值是 $λ$ ，则失稳临界轴向压力的值就等于 $λF$ 。

扩展阅读

武际可，苏先樾．弹性系统的稳定性．北京：科学出版社，1994．