这类弹性体的几何形状为柱体，全部载荷（包括体力和作用于柱体侧面的面力）都只有面内分量，且沿着方向均匀分布，柱体侧面的几何约束条件也沿均匀施加。①如果柱体为无限长，或者有限长，但限制在两个平行的光滑刚性面之间，则产生的变形状态为平面应变状态。这类问题称为平面应变问题。②如果柱体为有限长，两端面为自由表面，而且各点的面内正应力之和在面内线性分布，则其中的应力状态为平面应力状态。这类问题称为平面应力问题。③如果柱体的高度远小于面内特征尺寸，两表面均为自由表面，则内部各点的非面内应力分量也总是远小于面内应力分量而可以略去不计，其中的应力状态近似为平面应力状态。这类问题称为广义平面应力问题。可以按平面应力问题求解。④如果柱体长度很长，而且两端受到约束，那么在研究远离端部处的变形状态时可以近似按平面应变问题处理。⑤如果柱体长度较长，但是两端面自由，那么在研究远离端部处的变形状态时可以分解成两个问题来求解：先假想在两端施加光滑的刚性约束面，按平面应变问题求解，并求得端面上的面力；然后通过反向施加所得面力的主矢量和主矩来释放该假想的约束，即在平面应变的解的基础上叠加轴向拉压和弯曲的解。这类问题称为广义平面应变问题。

平面应变问题求解平面应变状态：

，

其基本方程包括广义胡克定律

，，

式中和称为拉梅常数；为克罗内克张量。

几何方程（见应变）

平衡方程（见固体力学平衡方程）

式中为作用在体积域内的体积力密度矢量，又称体力。相应的边界条件，包括与几何方程相应的在给定位移边界上的位移边界条件：

与平衡方程相应的在给定面力边界上的面力边界条件

式中为边界外法线矢量的分量。当不关注位移时，可以不考虑几何方程和位移边界条件，但还要考虑应变协调方程

平面应力问题求解平面应力状态

，

其基本方程包括广义胡克定律

，，

式中为弹性模量；为泊松比。

几何方程中除去与平面应变问题相同的方程之外，还有一个不独立的应变分量

平衡方程与平面应变问题的形式相同。两类边界条件也和平面应变问题相同，不过平面应力问题还有一个位移分量

当不关注位移时，可以不考虑几何方程和位移边界条件，但还要考虑应变协调方程，除去和平面应变问题相同的协调方程之外，还有

由此可知

当不为零时，位移也不仅是的函数，还是的线性函数。如果不能满足这个规律，则不是平面应力问题，这种位移严格说来是不协调的，仅当柱体的高度远小于面内特征尺度（即薄板状弹性体的广义平面应力问题）时，才可以近似地按平面应力问题求解。

为了求解方便，通常把基本方程归结为一组对于基本未知量的单一偏微分方程组的边值来求解，然后再求其他未知量。主要的解法包括：以位移为基本未知量的位移解法、以应力为基本未知量的应力解法，还有对位移引入位移函数的位移函数解法、对应力引入艾里应力函数的应力函数解法等。