在不随时间变化的静态电荷和稳态电流周围分别存在着静电场和稳态磁场。它们彼此独立存在。电荷或电流借助于所产生的场对其周围的其他电荷或电流施加作用力。电荷和电流随时间变化的情况下，两者彼此相互依存（电荷守恒定律），它们所产生的电场和磁场也随时间变化，时变的磁场产生时变的涡旋电场（法拉第电磁感应定律），时变的电场也产生时变的涡旋磁场（安培定律的麦克斯韦推广），电场和磁场相互交变，不再彼此独立，而是相互依赖共存，称为交变电磁场。交变电磁场的运动规律由麦克斯韦方程组确定，它的运动形式是波动，称为电磁波；电磁波在真空中以光速运动，光波是频率极高（10¹⁵赫）的电磁波。电磁波由电荷、电流源产生后便向远离源的方向运动，当源消失后电磁波并不消失而继续存在，它是独立的物质，即场形态的物质。

电磁场的普遍规律由麦克斯韦方程组给出，在国际单位制中麦克斯韦方程组为：

…（1）

式中为电场强度；为磁场强度；为电位移；为磁感应强度；和分别为电荷密度和电流密度；为时间。对于各向同性的简单介质，场矢量与其感应矢量的关系为，，和分别为介质的介电常数和磁导率。

　　在应用电磁学中，通常在麦克斯韦方程组（1）中引入虚构的磁流密度和磁荷密度，将（1）式改写为：

…（2）

方程组（2）在数学上具有对偶性，即当电型的场、源及介质常数与磁型的场、源及介质常数以某种方式置换后仍得到方程组（2），一种常用的置换方式为：

方程组（1）和（2）的解具有唯一性，电磁场的唯一性定理界定了获得唯一解所需的条件。

对于闭合曲面包围的有限体积内的电磁场，若在时刻，内任一点的场值等于初始值和；在的任何时刻，在面上的或的切线分量等于给定值（即边界条件），或的部分面上的切线分量及的其余面上的切线分量等于给定值。则区域中时刻的场被唯一确定。对于时谐电磁场不需要给定初始值。

唯一性定理是导出以下电磁场基本定理的基础，它们给出了关于电磁场的基本性质，以及诸如场与源的关系等的重要结论。这些定理对于电磁场问题的求解有重要作用。

设闭合曲面包围了所有源，所关心的问题是这些源在面外区域中产生的场和，希望由等效源产生同样的场和。如果在面上设置等效面电流和等效面磁流，这里和是真实源在面上产生的场，为面的单位外法线，而且设面内无源、无场，如图所示。在如此构成的等效问题中，在面外得到与真实源相同的场和。

等效源与场的关系

等效源原理在电磁辐射、孔隙耦合及散射、绕射等工程问题中有重要作用。虽然在（2）式中引入的磁流是虚构的，由等效源原理可以看出，切线分量电场是与面磁流功效相同的场源。

处于同一种线性简单介质中相同频率的两组源及它们所产生的场满足的如下关系式称为互易定理：

…（3）

式中、为a组源的电流密度和磁流密度；、为a组源产生的电场和磁场；、和、为b组的相应量。积分区域是无界区域，或以闭合曲面为界但满足条件：

…（4）

的有界区域，如理想电导体面包围的区域。

互易定理将源a对源b场的响应和源b对源a场的响应相联系，由此引出许多重要结论，如网络阻抗矩阵的对称性，以及天线的接收方向图与发射方向图相同等。需要强调，互易定理与介质为线性的简单介质有关，在某些复杂介质中互易定理不成立，这样的介质称为不可逆介质。

设无障碍物时在无界自由空间（真空）区域中由确定的电磁源产生的电磁场为、。在源与场区中间放置一无限大、无限薄且孔径为的理想导电屏后，在屏后空间区域的场为、。巴比涅原理陈述为：若将该导电屏撤去，在孔径处放置与相同形状及大小的理想导电盘（即导电盘与导电屏几何互补），同时将该源换成它的对偶源，即电流换成磁流，磁流换成电流，并将介电常数换成（真空的磁导率），磁导率换成（真空的介电常数），若此时盘后空间区域的场为、，则有下列关系式：

…（5）

式中为自由空间的波阻抗。

巴比涅原理是分析缝隙天线的辐射和电磁波通过孔隙传输等问题的有力工具。

设为复变数，复变函数表示复平面与复平面之间的变换。根据复变函数的理论，若函数是解析的，且在复平面上的某点的导数，则复平面上通过点的任意两段曲线变换到复平面上后仍保持它们之间的夹角和该角的转向不变。表示的变换称为保角变换。

保角变换技术可应用于二维静电场或稳态磁场问题的求解，因为此时场可用一个二维标量势势函数的梯度表示。满足二维拉普拉斯方程：

…（6）

拉普拉斯方程的解称为调和函数。由已知的总可找到另一调和函数，由它们构成解析函数。和互为共轭调和函数，它们的等值线族彼此正交。若的等值线表示等势线，则的等值线表示电力线，此时称为流函数。

用保角变换技术可求解的二维静电场问题主要有两种类型：一是曲线边界间的电势分布，如两不同半径平行导体圆柱之间的静电势分布，两不同心的导体圆柱之间的静电势分布等。另一类则是多角形边界区域中的静电势分布。这些问题的解析求解很困难，甚至不可能。如能用适当的变换函数将复杂的边界变为简单边界，在简单边界下求解后再变回原来的边界，便得原问题的解。

在齐次边界条件之下，不依赖于激励源的固有电磁场分布称为电磁场的本征函数。对于波导和谐振腔问题电磁场的本征函数即为电磁场的模式，或波型。

本征函数为一数学概念，对于线性（微分或积分）算子，如果其定义域为某类函数，此类中的函数和常数如能满足方程，则和分别称为算子在此类函数中的本征函数和本征值。线性物理系统中的物理量，如两端固定的弦的横向位移或金属边界中的电场等，需满足齐次边界条件并具有一定的特性（弦的位移必须连续，金属边界附近的电场必须平方可积），这些特性界定了算子作用的函数的类别。

在静态电磁场和时谐电磁场问题中，解可由满足拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程的标量函数构成，函数需满足在区域边界上为零或法向导数为零的齐次边界条件。在直角、圆柱、球等11种三维正交坐标系中，亥姆霍兹方程可用分离变数法求解，变数分离后所得的常微分方程便是函数所满足的含有参数的齐次方程，为分离变数常数，在齐次边界条件下的非零解即为本征函数。的解由各个变量的本征函数的乘积构成。

在曲线正交坐标系中，亥姆霍兹方程的分离变数解会导致本征函数为特殊函数，如圆柱坐标系中的径向函数为贝塞尔函数，球坐标系中的径向函数为球贝塞尔函数，极角函数为连带勒让德函数等。

数学上称点源影响函数为格林函数。正是在研究单位强度的点源或线源的静电势问题中英国数学家G.格林于1828年首先引入点源影响函数，但其后一直不能给出单位强度点源的数学表达式。直至1927年英国理论物理学家P.A.M.狄拉克引入函数作为某些函数序列的极限，以一种符号函数的方式赋予单位强度点源以数学表达式。1950年法国数学家L.施瓦茨建立分布理论后使函数获得严格的数学处理，格林函数的理论和方法此后才臻于完善。

对于电磁场问题，在确定的介质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数称为该条件下场或势的格林函数。格林函数方法在电磁场中的应用是基于介质的线性，在线性介质中任意分布的简谐（或稳恒）源激励的场或势，都可以表示为单位点源激励的场或势的线性组合。电磁场边值问题的解便可表示为源的分布函数与同样边界条件下格林函数的乘积的积分。

最简单的电磁场格林函数是无界空间中的标量格林函数，它对应于均匀无界介质中位于点的单位点电荷在空间点所产生的标量势。满足的方程为：

…（7）

式中拉普拉斯算符作用于场变量，，狄拉克函数表示位于（称为源变量）的单位点电荷的电荷密度。方程（7）的解为：

…（8）

它具有对称性，即。

均匀无界空间中的任意自由电荷密度分布产生的标势在洛伦兹规范下满足方程：

…（9）

利用格林函数，方程（9）的解很容易表示为：

…（10）

现在积分区域为无界空间，但没有电荷的区域对积分无贡献。

对于闭合曲面包围的均匀介质的有界区域内的标势的求解问题，格林函数和标势所满足的方程式仍分别为方程（7）和方程（9）。第二格林公式：

…（11）

格林函数的应用方式体现了互易定理的应用。为求出的源在点产生的标势，先要求解它的互易问题，把点源放在点求出同样边界条件下的格林函数，再应用第二格林公式和格林函数在点的奇异性而得到点的势。第二格林公式（11）实际上是两个标量函数和的互易性的表达形式。

以泛函方程为电磁场问题数学模型的各种近似解法，区别于以函数方程为数学模型的各种严格或近似解法。

函数表示因变数的数值与自变数的数值的某种确定的对应关系，而泛函则表示因变数的数值与函数的某种确定的对应关系。作为泛函“自变数”的函数集合在数学上称为函数空间。通常，泛函是含有泛函定义域函数空间中的可取函数及其导数的某一定积分：

…（12）

式中为维空间的积分变量；为维空间中的积分区域；为以，为变元的函数式。

电磁场问题通常以求出未知的场函数为主题，适合于表示为泛函问题。电磁场未知场函数的微分或积分方程和边界上的定解条件可抽象为算子方程的形式：

…（13）

式中为未知函数的定义域；为的边界；和分别为和上的已知函数；和分别为方程算子和边界条件算子。电磁场问题可归结为参量值泛函和误差泛函两类泛函问题，它们分别用变分法和加权余量法求解。

作为参量值泛函的问题，讨论填充有均匀介质的电磁谐振腔。腔内和腔的金属壁上电场应分别满足的场方程和边界条件是：

…（14）

和分别为腔体积和腔壁；为腔壁的单位外法线。以点积（14）中的矢量波动方程，得谐振频率的表达式：

…（15）

上式说明腔的谐振频率是腔中电场的分布函数的泛函，更重要的是这是一个取驻定值（极值）的泛函，即对于与精确的场分布有小偏离的近似场分布，由该式所得的腔频率值是稳定的：如以精确场分布的一阶近似解代入（15），可获得具有二阶近似精度的腔谐振频率值。对于难以求得场分布精确解的复杂形状谐振腔，使用（15）式有助于腔的工程设计。

一般说来，当满足齐次边界条件时，本征值方程等价于本征值作为本征函数的泛函表示式：

…（16）

的取极值问题，式中表示其中的两个函数的内积。

式（15）和（16）都是取驻定值的泛函式，因为它们对于可取函数的一级变分为零，，称为变分方程。变分法的基本问题是确定一个函数，使得由该函数的积分表示的泛函数取极值。变分法应用的困难在于需要对每一个问题证明所得的泛函取驻定值，并且找出所求的函数必须具备的必要条件。这样的条件一般是以带有边界条件的微分方程的形式给出，称为该变分方程的欧拉微分方程。

变分法应用于求解微分方程的边值问题或本征值问题就在于构造一个泛函的极值问题，使该泛函的欧拉方程为原问题的方程。求出使泛函取极值的函数，该函数必满足欧拉方程，因此也是原方程的解。求泛函极值的普遍方法是里兹方法，又称为瑞利-里兹法。里兹法在变分解的试探函数中引入多个可调节的参数，如将第级试探解写作：

…（17）

式中的为变分参数，这样就将泛函的极值问题变为求多变量函数的极值问题，以获得最佳近似解。如果试探函数选择得恰当，且构成完备的函数序列，原则上应获得精确解。

电磁场问题适于用变分法求解，依据于各种物理原理（如能量原理，最小作用原理和反应原理等）构造出的某些电磁学特征量的泛函往往能保证取驻定值，从而使这些特征量和电磁场未知函数归结为统一的求解内容，上面给出的谐振腔谐振频率的泛函便是这样的例子。20世纪40年代，美国量子物理学家J.S.施温格首先应用变分法求解波导中的不连续性问题，因为这些问题难于精确求解。正是依据储存的磁能与电能之差与电抗矩阵的关系，施温格导出了波导中的电感性金属柱、介质障碍物、金属障碍物等不连续性的等效电路参量的变分表示式，开创了变分法在电磁学中的应用。可以用变分法求解的电磁学特征量还有任意截面波导的传播常数、天线的输入阻抗、散射物体的散射截面等。