应力解法的控制方程包括平衡方程和用应力表示的应变协调方程，应变协调方程就是不协调量张量为零：

不协调量张量满足如下比安基恒等式：

此式的形式恰好和无体力情况的平衡方程相同。通过它们的类比可知，若将应力表示成：

则对于任意的函数，都将自动满足平衡方程。这组函数就称为贝尔特拉米应力函数。由于它的对称性，只有6个不同的分量。

基于弹性力学解的唯一性定理，对于三维问题，可以选择其中的三个分量作为应力函数来建立定解方程。一种选择是选取3个对角分量，即：

称为麦克斯韦应力函数。另一种选择是选取3个非对角分量，即：

称为莫雷拉应力函数。

就像应力解法一样，应力函数方法的应用范围也远没有位移解法广泛。但是对于一些常见的简单问题，某些特殊的应力函数还是得到了成功的应用，其中包括：弹性力学平面问题的艾里应力函数，柱体扭转和弯曲中用于扭转问题的扭转应力函数和用于弯曲问题的弯曲应力函数等。

如果没有体积力载荷，弹性力学平面问题的三个应力分量满足下列平衡方程：

将应力分量用一个函数表示为：

平衡方程就能自动满足。称为艾里应力函数。对于均匀各向同性弹性体，将上式代入应力解法的用应力表示的协调方程可得，为一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

式中是平面的拉普拉斯算符。引入后，平面问题原来的8个未知函数（两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量）就归结为一个函数。这对求解具体问题带来很多方便。

扭转应力函数又称普朗特应力函数，它们都可以看作是麦克斯韦应力函数的特例。