它是复变函数研究的主要对象。设是定义在平面开集内的一个单值的复值函数，是内一点。若在的一个邻域内可表示为以为项的幂级数，则称在处是解析的；若在内处处是解析的，则称为内的解析函数。

历史上对解析函数的研究是从多方面开始的。设是平面开集内的复变函数，是内一点，若极限

存在且有限，则称在处可导，这个极限值记为，称为在处的导数。这是实变函数导数概念在复平面上的形式推广。不过这种推广所蕴涵的内容十分丰富，这是因为（1）中的乃是的二维邻域内的任一点，极限（1）存在的条件就要强得多。

记则。若在处可导，则在处可全微分并且满足等式

习惯上称此为柯西-黎曼方程。不过，J.le R.达朗贝尔在流体力学的研究中早已获得这组等式；而最早弄清复变函数可微条件的是L.欧拉。所以这组等式又称为达朗贝尔-欧拉方程。

设在内连续，是内一路线，参数方程为。复积分

可视为路线的泛函。A.-L.柯西研究了复积分（3）的值仅与路线端点有关的条件，他证明了：若在单连区域内处处有连续导数，则复积分的值将无关于的选择，而只决定于的端点（1825）。É.-J.-B.古尔萨改善了这个结论的条件，只要求函数在内处处有导数（1900）。这是柯西理论的基础。据此不难推出，圆域内处处可导的函数与该函数的复积分的值只决定于路线的端点，是两个等价的事实。从此，一个开集内的复变函数，如果处处有导数，则称此函数为这个开集内的正则函数，受法语习惯的影响，又称全纯函数。

有关解析函数的基本的定理有：①零点孤立性定理。若解析函数在区域内解析，且不恒为零，则的零点在区域内是孤立的。②开映射定理。若解析函数在区域内解析，且不恒为零，则是区域上一个开映射，即它将开集映为开集。③最大模原理，等等。

K.外尔斯特拉斯是以幂级数为出发点开展对解析函数研究的。设幂级数

的收敛半径是一正数，则在以为心的一个圆盘内得到了一个解析函数，记为。对内另一点，在处有幂级数表示，则在一个圆盘内也得到一个解析函数，而圆盘可能不完全包含于之中。在内取值、在内取值的函数称为从到的解析开拓。对内任一点，在处有幂级数表示，因而有从到的解析开拓。这样，从幂级数（4）出发，沿着所有路线进行所有可能的解析开拓，便获得一个外尔斯特拉斯意义下的解析函数。不过还应该指出，这种函数可能已非单值而是多值的了。

对于区间上的实变函数，若在的任一点的适当邻域内可以表示为一个收敛的幂级数，为鉴别起见，称为上的一个实解析函数。

设是一解析函数，则与必在定义域内满足拉普拉斯方程；和都是调和函数。两调和函数与，若在定义域内处处满足柯西-黎曼方程（2），则称是的共轭调和函数。一般地说，一个调和函数不一定有单值的共轭调和函数。例如在上的调和函数的共轭调和函数是，但在上它并非单值。