研究对象是解决不可展的地球椭球面和地图平面这一特有矛盾的方法。主要任务是研究投影变形规律，确定变形的大小和分布特征，为不同用途的地图选择最佳投影方案，把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系，建立地图数学基础，以及进行投影变换。

最初的投影是建立在透视学原理基础之上，以平面、圆柱面或圆锥面作为承影面的几何透视法（图1）。几何透视法只能解决一些简单的由球面到平面的变换问题，具有很大的局限性。随着数学分析这一数学分支学科的出现，绝大多数投影都是用数学分析方法来解决地球表面到平面的变换问题，很少有投影是真正采用几何学透视原理。所以，地图投影又称数学制图学。地图投影这一名词，严格从字面理解，它只包含几何透视法，但这一名词沿用已久，并不妨碍它的发展，随着学科的发展，又赋予了新的更丰富的内涵。不论是几何透视法，还是数学分析法，这些将地球表面上的经纬线及各要素变换到地图平面上的方法统称为地图投影。

图1 地图投影的几何透视法

地图投影产生于公元前6世纪至5世纪。希腊天文学家塞利斯（Thales，前640～前546）最早用日晷投影（球心投影）编制天体图。埃及天文学家及地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes，前276～前194）在他第一次完成子午线弧长测量的基础上使用经纬线互相垂直的近似等距离圆柱投影编制了世界地图。随着16世纪的地理大发现，荷兰杰出的地图制图学家G.墨卡托（Gerhardus Mercator，1512～1594）第一个用正轴等角圆柱投影编制海图。17～18世纪，随着近代数学的发展，较大比例尺的地形图开始使用地图投影，如西欧三角测量中曾应用了卡西尼投影和彭纳投影；德国数学家和地图学家J.H.兰勃特（Johann H.Lambert，1728～1777）提出了等角投影一般理论，并创立了等角圆锥投影和等面积方位投影等。19世纪，地图投影主要朝着适应大比例尺地图数学基础的方向发展，德国数学家J.C.F.高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777～1855）拟定椭球面在球面上描写的一般理论，提出了在椭球面上实现等角横切圆柱投影的基本设想，后由德国大地测量学家J.克吕格（Johannes Kruger，1857～1923）继续研究并于1912年完成，即现在被许多国家地形图应用的高斯-克吕格投影。19世纪末到20世纪50年代，俄国科学院院士契比雪夫（Chybishev，1821～1894）提出了地表的一部分描写于地图上最适宜的投影，是投影边界线上比例尺保持为同一数值的投影这一著名理论；卡夫拉依斯基（Kavraisky，1884～1954）拟定了等距离圆锥投影，并设计了一种任意性质的伪圆柱投影。

中国的地图制图学发展很早，西晋著名地图学家裴秀（224～271）创制了科学编图方法“制图六体”，其中虽未提到地图投影，但涉及地图的数学基础。南宋（1136）刻在石碑上的《禹迹图》，是中国现存最早的“计里画方”地图，这种地图虽然无法考证它使用的是什么投影，但具有现代地图方里网的形式。清朝时，康熙帝（1654～1722）在1708年开始大规模全国性经纬度测量基础上，采用三角形等面积投影编制了《皇舆全览图》。民国初年，各省勘测和编绘的1∶10万、1∶50万和1∶100万比例尺地图，采用了多面体投影。中华人民共和国成立前，中国专门研究地图投影的学者极少，只有少数几位如叶雪安教授（1905～1966）和方俊教授（1904～1999）等对地图投影有较深入的研究，褚绍唐先生曾翻译出版了一本科普性读物《地图投影法》，阐述用几何法或透视法构成小比例尺地图经纬线网的若干常见投影。20世纪50年代，地图投影以引进和学习苏联为主，在此期间，国家基本比例尺地图的数学基础逐步统一体系，1∶50万及更大比例尺的系列地形图统一采用高斯-克吕格投影，新编第一代1∶100万地图采用改良多圆锥投影。叶雪安教授出版了《地图投影》（1953）、方俊教授出版了《地图投影学》（1958）等专著。20世纪60年代以来，地图投影的研究迅速发展，地图投影基本理论不断丰富，新的地图投影探求与应用创新发展，区域地图和地图集投影方案设计科学合理，地图数学基础建立的各类用表渐成体系，特别是Map Projection Transformation-Principles and Applications专著的出版标志着中国在地图投影变换方向的研究处于国际领先水平。

地图投影是解决不可展的地球椭球面与地图平面矛盾的数学法则，其实质是建立地球面上点的地理坐标与地图平面上点的直角坐标之间一一对应的函数关系，其一般方程为、，函数、在一定域内必须是单值、有限而连续的。

在地图投影过程中不可避免地产生各种变形。地图投影一般存在三种变形，即长度变形、面积变形和角度变形。将地球椭球面或球面按一定的比率缩小，然后将其描写在平面上，这种小于1的比率常数称为地图主比例尺或普通比例尺，通常标注在地图上。但无论怎样缩放地图，都不能改变投影变形引起的局部长度或面积变化，这种局部变化比率称为局部比例尺，并将导致地图局部大于或小于由主比例尺产生的变化。投影变形的大小与分布状况是衡量地图投影优劣的重要标志。

地图投影通常按投影变形性质或正轴投影的经纬线形状进行分类。按变形性质分为等角投影、等面积投影和任意投影。等角投影使地球面上任意两个方向所夹之角投影到平面上保持不变，长度比不随方向变化，小面积图形与实地相似。等面积投影不仅保持无穷小面积投影后相等，而且能使总体面积也相等，地球面上微分圆投影在平面上一般表现为面积相等的微分椭圆。既非等角又非等面积的投影叫任意投影，任意投影各种变形同时存在，其中在一组特定的主方向上长度比为1的任意投影称等距离投影。按正轴投影经纬线形状分为方位投影、圆柱投影、圆锥投影、伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。其中，方位投影的纬线投影为同心圆，经线投影为过同心圆中心的直线，两经线间的夹角与相应的经差相等；圆柱投影的纬线投影为一组平行直线，经线投影为一组与纬线正交的平行直线，其间隔与相应的经差成正比；圆锥投影的纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间夹角与相应的经差成正比。此外，由于投影面与地球面的相对位置不同，地图投影还有横轴和斜轴投影，并有切与割的区别（见图2）。

图2 方位投影、圆柱投影和圆锥投影的正轴、横轴和斜轴情况

地图投影的选择是制作地图的首要任务，它直接影响地图的精度和使用价值，通常根据地图的用途、使用特点、制图区域的形状和地理位置以及制图区域大小等因素来选择适宜的投影。考虑地图用途时，大多按变形性质选择投影，如航海图、航空图和地形图，一般多采用等角性质投影，便于实地用图；国家系列比例尺地形图，由于其通用性，多数国家选用高斯-克吕格投影或通用横墨卡托投影（见图3）；经济地图一般多采用等面积性质投影；普通地图要求各种变形适中，常采用等距离投影。依据制图区域形状和地理位置选择投影，大多使投影的等变形线形状基本上符合制图区域的轮廓形状来选择投影，如区域形状接近圆形的区域，在两极地区宜采用正轴方位投影，在中纬度地区宜采用斜轴方位投影；沿纬线东西方向延伸的中纬度横长形区域宜选用正轴圆锥投影，在低纬度地区则适宜采用正轴圆柱投影等。制图区域愈大，可选择的投影种类愈多，如世界地图可选用正圆柱投影、伪圆柱投影、广义多圆锥投影和某些派生的地图投影。东西半球图常采用横轴等面积或横轴等距离方位投影，水陆半球图一般采用斜轴等距离或斜轴等面积方位投影。

图3 通用横墨卡托投影

地图投影变换是20世纪80年代以来，为改变传统模拟制图方式下由资料地图到新编地图的数学基础变换，适应数字地图制图技术发展而形成的地图投影新的研究方向。地图投影变换，广义理解为研究空间数据处理、变换及应用的理论和方法，狭义理解为建立两个平面场之间点的一一对应函数关系。地图投影变换方程为，，式中，为资料地图的投影平面直角坐标，为新编地图的投影平面直角坐标，在一定域内单值而连续，满足两个投影平面间点的一一对应关系。地图投影变换方法有解析变换法和数值变换法等。解析变换法是在资料地图和新编地图的投影方程及常数已知情况下，通过建立两投影间坐标变换的解析计算公式，实现两个投影间的变换，有反解变换法和正解变换法。反解变换法是通过中间过渡的方法，反解出资料地图投影点的地理坐标，代入新编地图投影方程中求得其坐标。正解变换法是直接求出两种投影间的平面直角坐标关系式。数值变换法是在资料地图的投影方程不知道、投影常数难以确定或不易求得两个投影间的平面直角坐标解析关系式的情况下，通过数值逼近的理论和方法来建立两个投影间的关系式，实现两个投影间的变换。数值变换方法的一般描述是，给定被逼近曲面或函数，或是给定的一组离散近似值，构造一个比较简单的函数去逼近函数或离散近似值。逼近函数构造、变换区域大小、共同点分布等是影响地图投影数值变换精度和稳定性的主要因素。

科学技术发展突飞猛进，网络技术、遥感技术、导航定位技术等不断应用于地图学，使地图学呈现许多现代特征，也推动着地图投影深入发展。从广义上讲，地图投影是实现空间信息定位和可视化的基础，其本质是空间信息的定位模型和基础框架。地图投影是研究空间信息在某一制图表面（平面或曲面）上的描写，进行空间数据处理的理论和方法，其任务是建立空间数据（多源数据）的统一坐标格网（平面格网或曲面格网）。

传统意义上的静态、二维、矢量的地图投影理论、方法已难以描述其自身的发展，这也是学科发展的必然趋势。但地图投影作为地图的数学基础，起着基础和骨架作用，正是地图投影才使得地图具有严密的科学性和精确的可量测性。