湍流是自然界广泛存在的高雷诺数多尺度、极不规则的有结构流动。它的速度、压强、温度等都是随机变量，需要应用概率统计方法描述。现代湍流的创始人，O.雷诺提出把湍流变量分解为统计平均量和脉动量：

 （1）

式中为速度变量；为压强变量；为温度变量。经雷诺分解后，平均量是确定性变量，脉动量是随机变量。随机变量的统计特性，用统计矩表示，例如：是速度的1阶统计量，是2个脉动量在同一时空点的统计量，称为一点2阶相关；是2个脉动量在位移差上的统计量，称为二点2阶相关，以此类推，可以构成多点高阶统计量。湍流理论研究这些相关量的演化规律。

随机湍流的样本运动满足流体运动的质量、动量和能量守恒方程，以不可压缩牛顿流体为例，湍流质点样本流动服从纳维-斯托克斯方程（假设外力为零）：

 （2）

式中为流体密度；为运动黏性系数。将雷诺分解代入上述方程，并作统计平均得平均运动的雷诺方程：

 （3）

雷诺平均方程（3）中出现新的未知量，它是具有应力性质的2阶对称张量，称为雷诺应力。因此，雷诺平均方程是不封闭的。将湍流质点运动方程（2）减去雷诺平均方程（3），可得质点脉动运动方程：

 （4）

它也含未知量，因此也是不封闭的。湍流理论需要揭示湍流脉动的性质，封闭雷诺方程。

均匀各向同性湍流是最简单的湍流（简称各向同性湍流）。在任意移动或转动坐标系中各阶脉动统计矩都相同的湍流是各向同性湍流。利用坐标平移变换，各向同性湍流只有脉动。令为湍动能，为湍动能耗散率，在没有外力作用下，各向同性湍流的湍动能方程为：

 （5）

没有外力作用的各向同性湍流是衰减的。

另一方面，均匀湍流可以做傅里叶展开：

 （6）

在傅里叶展开的谱空间中，湍动能谱等于：

    （7）

式中为的复共轭；为谱空间中半径等于的微元球面，由基本方程（4）可导出各向同性湍动能谱方程：

 （8）

式中为湍动能传输谱。式（8）左边表示湍动能衰减和波数二次方成正比，就是说，小尺度湍动能衰减快；式（8）右边表示在给定波数上通过惯性输入的能量，简称湍动能传输谱。图1展示数值计算和实验测量的各向同性湍流能量传输谱，低波数（大尺度）湍流脉动占有绝大多数能量，这时传输谱是负值，输出能量，高波数（小尺度）脉动吸收能量（图1）。

图1 各向同性湍流能量传输谱

湍动能从大尺度向小尺度传输的现象称为湍动能串级现象，英国科学家L.F.理查森（1922）最早猜测到这一现象，他有几句名言：“大涡喂小涡，向它提供能量，小涡喂更小涡，向它提供能量，直到在黏性中耗散。”苏联科学家A.N.科尔莫戈罗夫（1941）根据串级现象提出高雷诺数湍流在小尺度上具有局部各向同性性质，它的湍动能谱具有普适的相似性。在远离含能尺度的惯性子区中能量传递率等于小尺度的动能耗散率。根据量纲理论，耗散尺度应等于：

 （9）

在任何高雷诺数湍流中，远离含能尺度和耗散尺度的子空间中（称为惯性子区），它的能谱只和波数以及向小尺度传递的能量有关，根据量纲一致性，普适能谱等于：

 （10）

式中为科氏常数，公式（10）是著名的湍动能谱的-5/3次幂律。根据科氏理论，高雷诺数湍流中，小尺度脉动具有相似性，在惯性子区湍流脉动速度差应有以下性质：

 （11）

式中为尺度放大系数；为标度指数。

应用脉动相似性和惯性子区只与能量传递率有关的假设，可导出速度差统计矩（称结构函数）的关系式：

 （12）

式中为比例系数。式（12）称为结构函数的标度律。对于3阶结构函数，有。

L.D.朗道曾质疑K41理论的准确性，他认为湍动能耗散率具有很大间歇性，在普适关系式中用平均湍动能耗散率是不正确的。根据朗道的建议，科尔莫戈罗夫对K41理论做了修正，对于-5/3次幂能谱的修正量很小，对于一般标度律应写成：

式中为标度律系数。

对于均匀湍流，可以令平均速度等于零，它的脉动运动方程由方程（4）简化为：

 （14）

运动方程左边是局部时间导数，右边含有脉动的二次项和黏性扩散的线性项，对于高雷诺数湍流，分子黏性扩散很小，予以忽略。形式上可以将式（14）写成：

 （15）

左边是速度向量的时间导数项，右边是速度向量的二次非线性项。从脉动方程（15）还可以导出2阶矩方程、3阶矩方程。所有阶次的统计矩方程，都不封闭，这是湍流统计理论不能回避的症结——统计方程的封闭性问题。湍涡阻尼准正则马尔科夫理论假定湍流脉动是准正则过程，它的4阶矩可以写成2阶矩的乘积，这样应用准正则假定就可以解决统计方程的封闭性问题了。中国抗日战争时期，西南联大的周培源教授提出准正则假定；苏联科学家M.D.米里昂希考夫（1941）独立提出类似假定。利用准正则假定封闭各向同性湍流方程进行分析计算的是美国湍流专家S.奥查克（1970）。他发现用准正则假定计算各向同性湍流时，湍动能谱可能得负值，原因是能量传递项（3阶矩项）太大。他建议在准正则近似方程中添加阻尼项，称为湍涡阻尼准正则（EDQN）近似。虽然EDQN较QN有明显改进，但是仍然可能出现湍动能谱负值。最后，在湍流随机过程的计算中采用马尔科夫化的湍涡阻尼准正则模拟（EDQNM），得到满意的结果，在各向同性湍流的数值计算中可以得到-5/3次幂的湍动能谱。法国湍流专家P.萨高特等（2008）进一步发展EDQNM理论，应用于各向异性均匀湍流，如旋转湍流、浮力湍流等，都取得很好成果。

各向同性湍流的封闭理论还有直接干扰近似和重整化群理论等。

概率密度模型。随机过程可以用各阶统计矩描述，更直接的表述方法是湍流场的概率密度。如果已知脉动速度的概率密度，雷诺应力是概率密度2阶矩。可以从纳维-斯托克斯方程导出湍流脉动的概率密度输运方程，然后用广义郎子万模型（GLM）封闭概率密度输运方程。概率密度模型在化学反应湍流和污染湍流扩散中应用较多。

自然界和工程系统中大量的湍流运动存在平均运动剪切率，对于这类各向异性剪切湍流的预测需要封闭雷诺方程，对雷诺应力做封闭模式，称为雷诺平均湍流模式，有以下层次的封闭模式。

涡黏模式的基本思想是类同分子黏性应力，认为雷诺应力和平均变形率呈线性关系，在不可压缩湍流中的表达式为：

 （16）

对于标量的湍流输运有类似的梯度关系式：

 （17）

分别称为湍涡黏系数、湍涡扩散系数。最早的涡黏模式是L.普朗特（1925）提出的二维平均剪切层的混合长度模式，令涡黏等于混合长度（相当于分子平均自由程）乘以混合层长度上的垂直脉动速度：

 （18）

最后得雷诺应力的封闭式为：

 （19）

随着各向同性湍流的湍动能串级现象的发现，涡黏的特征长度应是惯性子区的尺度，特征速度应是惯性子区的特征速度，于是就有模式（1970）：

 （20）

模式中和分别满足各自的偏微分方程，系数与方程中出现的待定常数，用简单湍流的实验结果拟合。涡黏模式具有半经验性质，缺乏普适性，因此适应不同类型的湍流发展了其他涡黏模式，例如模式，非线性模式等。

随着电子计算机迅速发展，计算流体力学的兴起，对流扩散型的纳维-斯托克斯方程有很好的数值解法，促使湍流模拟学者考虑从雷诺应力输运方程出发进行数值计算。雷诺应力输运方程，可以从脉动方程导出如下：

 （21）

2阶矩模式需要给出方程（21）中再分配项、扩散项、耗散项的封闭式；有了这些封闭式，方程（21）和雷诺方程（3）联立，可以数值计算平均速度场。式中为二阶矩随体变化率；为产生项。

RANS模式建立在唯象论的基础上，模式的形式和系数，都不是由严格的科学理论体系建立的，带有经验性和半经验性，用RANS模式模拟的结果，可能出现非物理的结果。因此RANS模式必须满足必要的理论约束。

①可表性条件。雷诺应力是2阶张量，雷诺应力的封闭公式必须符合张量性质。

②客观性条件。封闭模式作为一种客观规律，它必须满足坐标变换的不变性；对于非定常湍流，还必须满足伽利略变换的不变性。

③真实性条件。湍流脉动强度必须是正值，，，；雷诺应力必须满足施瓦茨（Schwartz）不等式：

 （22）

④拉姆利三角形（1970）。J.拉姆利提出雷诺应力必须满足的条件是：雷诺偏应力必须位于曲边三角形内（图2）：

图2 拉姆利曲边三角形

拉姆利三角形的坐标分别是雷诺偏应力张量的第2、第3不变量：

 （23）

曲边三角形的三边分别是：

 （24）

拟序结构是20世纪70年代在剪切湍流的实验研究中的重大发现，是一种随机触发的可重复流动序列。人们试图建立拟序结构的理论模型，一方面解释拟序结构的成因，另一方面用拟序结构预测统计特性。已有湍流拟序结构模型有两类：涡模型和波模型。

剑桥大学A.A.汤森教授最早提出近壁湍流的随机附着涡模型，该模型能近似估计近壁湍流脉动速度的统计特性；根据流动显示观察到的拟序结构呈马蹄涡型，澳大利亚科学家A.E.佩里等在汤森的基础上提出随机P涡模型。

自由剪切湍流中的拟序结构用剪切波解释，自由剪切湍流中线性波是指数增长的，利用朗道-斯图尔特保型假定可以估计饱和的线性剪切波幅值。随着剪切流中波理论的发展，在壁湍流中，也有人利用剪切波瞬态增长和三波共振等机制解释拟序结构。拟序结构是复杂的随机过程，现有的简单理论模型还不能完全模拟和解释拟序结构。需要进一步从精细实验测量，数值模拟和理论模型相结合的方法深入研究探讨。

湍流是多尺度、不规则的有结构的宏观流动，虽然湍流质点的样本流动服从纳维-斯托克斯方程，但是样本流动没有精确解，湍流的统计方程是不封闭的，建立湍流的普适理论十分困难。对于简单的各向同性湍流，应用随机过程理论、重整群理论和量纲理论等，可以建立近似的湍流理论，其理论结果可以推广到局部均匀湍流，例如K41理论。对于复杂切变湍流，利用量纲理论，气体分子输运过程的比拟和实验验证等唯象论方法，建立半经验性理论例如模式。虽然唯象论或半经验性理论，没有普适性，但是过去的近100年历史中给工程系统和自然环境的研究和预测提供了有效的方法。

建立湍流理论的困难在于：经典力学和现代物理学体系都没有提供有效的方法。从经典力学来看，湍流是宏观运动，有控制方程，似乎属于经典力学范畴，但是经典力学是确定性的，没有处理复杂随机过程的理论基础；现代物理是研究随机过程的科学体系，例如量子力学理论，湍流似乎可以借鉴现代物理体系的方法，遗憾的是现代物理研究对象是粒子，而湍流研究对象是连续介质，连续介质的运动和约束条件比粒子运动复杂得多。

100多年来，湍流研究积累了丰富资料，具备了超大型电脑和精细的科学测量仪器，并且，已经认识到湍流是多尺度有结构的宏观随机运动，有可能在下一个100年里，建立湍流理论体系。对于简单的各向同性湍流，通过精细实验和超大规模直接数值模拟的结果，应用随机过程理论，揭示连续系统多尺度脉动的随机过程的性质，有望建立一般理论。对于复杂切变湍流，在唯象论模型基础上，也需要通过精细实验和超大规模直接数值模拟积累资料，结合随机过程理论，逐步建立分类的湍流理论，如壁湍流理性模型和理论，自由剪切湍流理性模型和理论。研究湍流理论任重道远。