拉格朗日陀螺

首页 . 理学 . 物理学 . 力学 . 经典力学 . 刚体 . 刚体动力学 . 陀螺

/Lagrange's top/

条目作者秦敢

秦敢

最后更新 2022-01-20

浏览 209次

最后更新 2022-01-20

浏览 209次

0 意见反馈条目引用

在重力场中做定点转动的对称陀螺。

英文名称: Lagrange's top

所属学科: 物理学

图1 在重力场中做定点转动的对称陀螺

拉格朗日陀螺有三个首次积分：

$J_{z'}=(I_1\sin^2\theta+I_3\cos^2\theta)\dot \varphi+I_3\cos\theta \dot \psi$

$J_z=I_3(\dot \psi+\cos\theta\dot\varphi)$

$E=\frac{I_1}{2}(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta)+\frac{J^2_z}{2I_3}+mgl\cos\theta$

式中 $J_{z'}$ 和 $J_z$ 分别为陀螺角动量在进动轴和自转轴方向的分量； $E$ 为总能量。由上述关系得：

$\frac{I_1}{2}\dot\theta^2+V_{\mathrm{eff}}(\theta)=E'$

式中 $E'=E-\frac{J^2_z}{2I_3}-mgl$ ， $V_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{(J_{z'}-J_z \cos\theta )^2 }{2I_1\sin^2\theta}-mgl(1-\cos\theta)$ 。

图2 有效势能随θ变化图

有效势能随 $\theta$ 变化的典型图形大致如图2所示，它和 $E'=常数$ 的直线有两个交点 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ ，其值由 $E'=V_{\mathrm{eff}}(\theta)$ 决定，这两个角度决定了陀螺的 $z$ 轴对铅直方向偏离的章动角的上、下界限。

进动角速度 $\dot\varphi$ 是否改变符号取决于 $J_{z'}-J_z\cos\theta$ 是否变号。图3a和c分别是当 $J_{z'}-J_z\cos\theta$ 在区间 $[\theta_1,\theta_2]$ 内不变号和变号时陀螺自转轴的轨迹，而图3b是a和c之间的临界情形，即在 $\theta_1$ 处 $J_{z'}-J_z\cos\theta=0$ 。

图3 进动角度变化图

拉格朗日陀螺

秦敢

条目图册

阅读历史

感谢您的反馈

拉格朗日陀螺

秦敢

条目图册

精选发现

相关条目

阅读历史

感谢您的反馈