在这里张量泛指高维数组，是相对密度矩阵而言的。重正化群是对局域自由度或希尔伯特空间的基矢变换，遴选出相关的基矢，扔掉不相关的基矢。张量重正化群可视为是密度矩阵重正化群的高维推广，因此严格来说，这里的基矢变换也是不可逆的，仅构成了一个半群。

任何一个只具有局域相互作用的经典统计模型，其配分函数都可以表示成为一个张量乘积求和的形式。通过这种方式，经典统计模型就被精确映射为一个张量网络模型，对经典配分函数的计算，就化为对张量网络模型的求解。一维配分函数的转移矩阵表示，就是张量网络模型的一个特例。

假设把整个量子系统分为子系统和环境两部分，就可以用约化密度矩阵的谱来定义纠缠熵，以刻画两部分之间纠缠的强弱。对于一个任意的量子态，可以期望纠缠熵正比于子系统的粒子数或体积。但实际上对于很多只具有局域相互作用的量子多体系统的基态和低能激发态，纠缠要弱得多，纠缠熵的渐近行为仅正比于子系统边界的面积。虽然面积定律只在少数几个具体情形被证明，但一般认为只具有局域相互作用的有能隙系统的基态波函数，甚至低能激发态，其纠缠熵是满足面积定律的。这是密度矩阵重正化群在一维取得成功的关键，也是在二维只能处理有限系统的根本原因。

张量网络态是格点系统量子波函数的一类特殊表示形式。它对基矢在波函数中的叠加系数做出了限制，即该系数可以表示成一个张量的乘积（）求和（或者）的形式。一维量子波函数的矩阵乘积态表示，是张量网络态的一个特例。在二维情形，有多种不同的张量网络态波函数表示，常见的有投影纠缠对态和投影纠缠单形态，两者都能够忠实刻画满足面积定律的纠缠熵行为，因此被广泛用于求解局域相互作用的有能隙哈密顿系统的基态和低能激发态。图中给出了张量网络态，其中a是配分函数的张量网络表示：；图b是量子波函数的张量网络表示：；图c是纠缠熵的面积定律示意：，其中为边界尺寸，代表空间维度。

张量网络态示意图

张量网络态波函数作为一种变分波函数，其中的局域张量都是待定的变分参数，这些变分参数可以通过能量极值或虚时演化的方法求解得到。一旦得到具体的波函数表示，物理量期望值的求解，就完全转化为对一个二维张量网络的求和，这等价于对经典配分函数或张量网络模型的求解。

物理学家基于重正化群的思想发展了一系列的近似求解方法，这些近似方法大致可以分为转移矩阵和粗粒化重正化群两类。前者将求和化为转移矩阵的最大本征值问题，进而化为求解转移矩阵自身或其最大本征向量的有效低维表示，这包括密度矩阵重正化群、转移矩阵重正化群、时间演化块消减算法、角转移矩阵重正化群等；后者使用局域近似来模拟卡达诺夫的块自旋消减过程，实现对不同尺度上局域自由度的重正化群变换，直到变换后的自由度可以被精确处理，这包括基于奇异值分解和高阶奇异值分解的重正化群方法、二次重正化群方法，以及后来为去除局域纠缠而提出的改进，如纠缠过滤重正化等。

张量重正化群方法由于没有负符号问题，并可直接处理热力学极限，因此被广泛用于对格点自旋系统的研究。如对经典统计模型的相变研究，以及对量子格点自旋模型的基态和热力学行为的研究。随着方法的发展，它在费米子系统、格点规范理论、一维量子场论、经典自旋玻璃、一维多体局域化，甚至机器学习等领域都发挥着越来越重要的作用，与分子动力学、蒙特卡洛方法、深度学习之间的相互渗透也越来越多。