劳思降阶法

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/Routh method of reduction/

条目作者张毅

张毅

最后更新 2023-11-15

浏览 198次

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英国学者E.劳思于1877年应用循环积分将拉格朗日方程降阶，既达到降阶的目的，又能使动力学方程仍保持拉格朗日方程的形式的方法。降阶后的方程称为劳思方程。

英文名称: Routh method of reduction

所属学科: 力学

假设力学系统有 $r$ 个循环坐标 $q_1,q_2,\cdots,q_r\quad (1\leq{r}<n)$ ，即系统的拉格朗日函数表示为：

$L=L(q_{r+1},q_{r+2},\cdots,q_n,\dot{q}_1,\dot{q}_2,\cdots,\dot{q}_r,\dot{q}_{r+1},\cdots,\dot{q}_n,t)$

(1)

则系统有 $r$ 个循环积分：

$\beta_i=\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}=a_{i1}\dot{q}_1+a_{i2}\dot{q}_2+\cdots+a_{ir}\dot{q}_r+a_{i,r+1}\dot{q}_{r+1}+\cdots+a_{in}\dot{q}_n\quad(i=1,2,\cdots,r)$

(2)

式中 $\beta_i$ 为任意常数； $a_{ij}$ 为广义坐标 $q_{r+1},q_{r+2},\cdots,q_n$ 和时间 $t$ 的函数。假定行列式：

$\left| \frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}_i\partial\dot{q}_j}\right|=| a_{ij}|\neq0\quad(i,j=1,2,\cdots,r)$

(3)

那么，由式（2）可解得：

$\dot{q}_j={f}_i(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r,q_{r+1},q_{r+2},\cdots,q_n,\dot{q}_{r+1},\dot{q}_{r+2},\cdots,\dot{q}_n,t)\quad(i=1,2,\cdots,r)$

(4)

定义函数

$R=L-\sum_{i=1}^r\dot{q_i}\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}$

(5)

为劳思函数，其中 $\dot{q_i}$ 需应用式（4）消去，即有：

$R=R(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r,q_{r+1},q_{r+2},\cdots,q_n,\dot{q}_{r+1},\dot{q}_{r+2},\cdots,\dot{q}_n,t)$

(6)

对式（6）求等时变分，有：

$\delta{R}=\sum_{i=1}^r\frac{\partial{R}}{\partial\beta_i}\delta\beta_i+\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{R}}{\partial{q}_i}\delta{q}_i+\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{R}}{\partial\dot{q}_i}\delta\dot{q}_i$

(7)

对式（5）求等时变分，有：

$\delta{R}=\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{L}}{\partial{q}_i}\delta{q}_i+\sum_{i=1}^r\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}\delta\dot{q}_i+\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}\delta\dot{q}_i-\sum_{i=1}^r\delta\dot{q}_i\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}-\sum_{i=1}^r\dot{q}_i\delta\beta_i=\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{L}}{\partial{q}_i}\delta{q}_i+\sum_{i=r+1}^n\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}\delta\dot{q}_i-\sum_{i=1}^r\dot{q}_i\delta\beta_i$

(8)

比较式（7）和式（8），得到：

$\frac{\partial{R}}{\partial{q}_i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q}_i},\frac{\partial{R}}{\partial\dot{q}_i}=\frac{\partial{L}}{\partial\dot{q}_i}\quad(i=r+1,r+2,\cdots,n)$

(9)

以及

$\dot{q}_i=-\frac{\partial{R}}{\partial\beta_i}\quad(i=1,2,\cdots,r)$

(10)

将式（9）代入第二类拉格朗日方程，得到：

$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}\frac{\partial{R}}{\partial\dot{q}_i}-\frac{\partial{R}}{\partial{q}_i}=0\quad(i=r+1,r+2,\cdots,n)$

(11)

这就是完整保守系统的劳思方程。而式（10）可用来求 $q_1,q_2,\cdots,q_r$ ，对其积分，有：

$q_i=-\int\frac{\partial{R}}{\partial\beta_i}{\rm{d}}t\quad(i=1,2,\cdots,r)$

(12)

劳思方程的形式与第二类拉格朗日方程的形式一致，但只剩下（ $n-r$ ）个二阶微分方程。与原 $n$ 个自由度的拉格朗日方程比较，减少了 $r$ 个二阶微分方程，达到了降阶的目的。劳思降阶法可推广应用于非完整系统和伯克霍夫系统。

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