开普勒方程是开普勒第二定律——面积定律积分的结果，最早由J.开普勒在他1609年出版的《新天文学》给出，并在1621年出版的《哥白尼天文学概要》中给出方程的迭代解。方程在天体力学及航天动力学中具有重要的地位。

对于偏心率为的椭圆轨道，开普勒方程为：

(1)

式中为平近点角；为偏近点角。记椭圆运动过近拱点时刻为，则当前时刻对应的平近点角为，其中为轨道的平均角速度，与中心天体的引力系数和椭圆半长轴的关系为。偏近点角具有明确的几何意义，如图所示。红色实线表示的椭圆的中心为原点，长轴和短轴分别为轴，为焦点，轨道运动在时刻位于处，到的连线与轴的夹角即为真近点角。以为圆心，椭圆半长轴为半径，作椭圆的外切圆，过点作长轴的垂线交外切圆于点，点到点的连线与轴的夹角即为开普勒所称的偏近点角。它与真近点角的关系式为：

(2)

基于这个关系的变换后，真近点角表示的面积定律积分的结果即是开普勒方程。已知二体问题的六个轨道根数，可以求出任意时刻的平近点角，再求解开普勒方程（1）得到偏近点角，最后根据式（2）求得真近点角，获知轨道运动的几何位置。

椭圆轨道偏近点角与真近点角的几何关系

开普勒方程无法解析求解，是历史上一个非常有名的超越方程，继开普勒之后，I.牛顿、J.-L.拉格朗日等18世纪中期前的著名数学家几乎都涉足它的求解，推动了数学研究的发展，包括拉格朗日反演定理、贝塞尔函数、傅里叶级数、复变函数论、数值分析等方面。

开普勒方程中，两个角度量一一对应，并且正负关系相同，因而只需要在内分析即可。求解方法分为初等方法、级数展开法和数值迭代法。初等方法包括几何作图法和二分法。级数展开法包括拉格朗日反演方法和傅里叶-贝塞尔级数展开法。前者将偏近点角展开为平近点角加上偏心率的幂级数，级数的系数通过拉格朗日反演定理确定，为整数倍平近点角的正弦函数之和，这种展开式当偏心率约大于0.6627时不收敛。后者将偏近点角展开为平近点角及其傅里叶级数之和，级数的系数由关于偏心率的第一类贝塞尔函数确定，这种展开式对所有椭圆轨道都收敛。数值迭代法包括牛顿法及其改进型，收敛速度能够由二阶提高到四阶。

双曲线轨道存在与椭圆轨道类似的开普勒方程，形式为：

(3)

这里以双曲线的半实轴来计算平均角速度及平近点角，为双曲线型的偏近点角，与真近点角的关系为：

(4)

双曲线型开普勒方程的两个角度量也一一对应，可通过几何作图法、二分法、级数展开法和数值迭代法求解。抛物线型的开普勒方程称为巴克方程，直接将真近点角和时间联系在一起，形式为：

(5)

式中为抛物线轨道的半通径。对于这个方程，运用三次方程的求根公式就能解析给出真近点角关于时间的表达式。