直接积分法

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/direct integration method/

条目作者陈璞

陈璞

最后更新 2022-05-11

浏览 213次

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结构动力学的求解方法之一。方法的核心是把时间划分为一系列合适的增量步 $\Delta t$ ，按照初始条件确定初始时刻的广义位移 ${ {\boldsymbol u}}_n$ 和广义速度 ${ \dot{\boldsymbol u}}_n$ ，然后通过数值积分求出在这一增量步结束时刻的 ${ {\boldsymbol u}}_{n+1}$ 和其他量，并以它们作为下一增量步的初始值，如此逐步求解下去，就能得到最终的结果。又称逐步积分法。

英文名称: direct integration method

又称: 逐步积分法

所属学科: 力学

直接积分法可用于直接求解耦合运动方程：

${\boldsymbol M \ddot {\boldsymbol u}}(t)+{\boldsymbol C\dot{\boldsymbol u}}(t)+{\boldsymbol K\boldsymbol u}(t)={\boldsymbol p}(t)$

(1)

而且对阻尼矩阵的性质不需要附加任何限制。但在实际计算中为了保持隐式方程的易解性，阻尼矩阵通常采用瑞利阻尼与广义位移阻尼的组合方式。直接积分法也适用于使振型叠加法失效的非线性结构系统的动力分析，因此是一种普遍适用的方法。

直接积分法一般分为显式与隐式两类。中国学者也对逐步积分法做出了显著的贡献，如显式纽马克β法、精细积分法等。

显式直接积分法

这一类方法的代表是中心差分法。在中心差分法中，方程列在 $n\Delta t$ 处，速度、加速度均由位移的差分得到：

${ \dot{\boldsymbol u}}_n=\frac{1}{2\Delta t}(-{\boldsymbol u}_{n-1}+{\boldsymbol u}_{n+1}), \ \ {\ddot {\boldsymbol u}}_n=\frac{1}{(\Delta t)^2}({\boldsymbol u}_{n-1}-2{\boldsymbol u}_n+{\boldsymbol u}_{n+1})$

代入运动方程得到：

$\left(\frac{1}{\Delta t^2}{\boldsymbol M}+\frac{1}{2\Delta t}{\boldsymbol C} \right) {\boldsymbol u}_{n+1}={\boldsymbol p}_n-\left( {\boldsymbol K} -\frac{2}{ \Delta t^2}{\boldsymbol M} \right){\boldsymbol u}_{n}-\left(\frac{1}{\Delta t^2}{\boldsymbol M}-\frac{1}{2\Delta t}{\boldsymbol C} \right) {\boldsymbol u}_{n-1}$

如果质量矩阵与阻尼矩阵是对角的，中心差分法不需要组装等效刚度矩阵，也不需要求逆，即可计算积分，在非线性分析时优势明显。在中心差分法中，初始时刻，也就是求位移 ${\boldsymbol u}_1$ 时，要求用速度 ${\dot{\boldsymbol u}}_0$ 预估 ${\boldsymbol u}_{-1}$ 。

中心差分法是条件稳定的方法，即 $\Delta t$ 必须小于一个阈值 $\Delta t_\mathrm {CR}$ ，积分才能稳定。这个 $\Delta t_\mathrm {CR}$ 与系统的最小固有振动周期相关。

隐式直接积分法

下面以纽马克β法为例说明隐式直接积分的过程。首选假定在时间增量步 $[n,n+1]\Delta t$ 末的速度 ${\dot{\boldsymbol u}}_{n+1}$ 与位移 ${\boldsymbol u}_{n+1}$ 依赖于时间增量步开始时的速度 ${ \dot{\boldsymbol u}}_n$ 与位移 ${\boldsymbol {u}}_{n}$ ，以及两端的加速度 $\ddot{\boldsymbol u}_{n}$ ， $\ddot{\boldsymbol u}_{n+1}$ 的加权平均，即：

$\begin{cases} \dot{\boldsymbol q} _{n+1}=\dot{\boldsymbol q}_n+(1-\gamma)\Delta t^2 \ddot{\boldsymbol q}_n+\gamma\Delta t\ddot{\boldsymbol q}_{n+1} \\ {\boldsymbol q} _{n+1}={\boldsymbol q}_n+ \Delta t \dot{\boldsymbol q}_n+ (0.5-\beta)\Delta t^2 \ddot{\boldsymbol q}_n+\beta\Delta t^2\ddot{\boldsymbol q}_{n+1}\\ \end{cases}$

(2)

式中 $0<\gamma<1,0<\beta\leqslant0.5$ ，一般建议取 $\gamma=0.5,\beta=0.25$ ，将它们代入 $(n+1)\Delta t$ 处的运动方程可以得到关于 $\ddot{\boldsymbol u}_{n+1}$ 的线性方程组：

$({\boldsymbol M}+0.5\Delta t{\boldsymbol C}+0.25( \Delta t) ^2{\boldsymbol K})\ddot{\boldsymbol u}_{n+1}={\boldsymbol p}_n-{\boldsymbol K \boldsymbol u}_n-({\boldsymbol C}+\Delta t{\boldsymbol K})\dot{\boldsymbol u}_n-(0.5\Delta t{\bf C}+0.25(\Delta t)^2{\boldsymbol K})\ddot{\boldsymbol u}_n$

在程序实现中为了方便常常取如下的步进形式：

$\left({\boldsymbol M}+\frac{2}{\Delta t} {\boldsymbol C}+\frac{4}{(\Delta t)^2}{\boldsymbol M}\right)\Delta{\boldsymbol u}=\Delta{\boldsymbol p}+{\boldsymbol M}\left(\frac{4}{\Delta t}\dot{\boldsymbol u}_n + 2\ddot{\boldsymbol u} _n\right){\boldsymbol C}(2\dot{\boldsymbol u}_n)$

式中 $\Delta {\boldsymbol p}={\boldsymbol p}_{n+1}-{\boldsymbol p}_n$ ， $\Delta {\boldsymbol u}={\boldsymbol u}_{n+1}-{\boldsymbol u}_n$ 。解方程可得广义位移增量，带回公式（2）可得到广义加速度 $\ddot{\boldsymbol u}_{n+1}$ 与广义速度 $\dot{\boldsymbol u}_{n+1}$ 。

当取 $\gamma=0.5,\beta=0.25$ 时，纽马克β法是无条件稳定的，即 $\Delta t$ 任意选取，积分都是稳定的，不发散。一般区段（即积分步长） $\Delta t$ 为所关心的运动周期的1/10～1/5就可以得到较合理的结果。

逐步积分法的主流方法除纽马克β法之外，还有威尔逊θ法等。

收敛性与误差

衡量直接法优劣的指标除了稳定性之外，还有收敛性与误差。收敛性是指 $\Delta t$ 趋近于0时，数值解趋于一个收敛的值。误差是指某个数值解与解析解之间的差。

非线性直接积分法

对于直接积分法，每一步的结构参量可以变化，可假设结构参量（如刚度）在每一时段内是常量并取为该区段开始时刻的瞬时参量值。