当受微小扰动偏离某个平衡或运动状态后，系统能够回复或趋于回复该状态的，称系统的该平衡或运动状态是稳定的；若受扰动偏离某个平衡或运动状态后，趋向于离开它原来的状态，则称该平衡或运动状态是不稳定的。弹性系统在外力作用下从稳定的平衡或运动状态达到一个不稳定的平衡或运动状态，称为丧失稳定性，简称失稳。

稳定性研究最早可追溯到亚里士多德和阿基米德。前者研究受到扰动后的运动，并从其后的运动方式来确定扰动前运动的稳定性；后者则从扰动后系统的几何状态来确定扰动前系统的稳定性。前者一直应用到伽利略时代，称为运动学方法，主要用于研究运动稳定性。后者称为几何法，后来在17~19世纪力学系统稳定性领域成为主要的研究方法，代表性的研究者有E.托里拆利、J.–L.拉格朗日等。弹性系统稳定性问题的研究开展得稍晚。1729年，P.马森布洛克用实验方法研究了压杆的稳定性。1744年，L.欧拉得到了细长压杆稳定性的理论解以及临界后的大挠度弹性线。19世纪以后，随着钢铁等高强度材料的大量应用、板壳结构在工程部门中的采用，特别是20世纪若干典型事故的出现，如1940年美国塔科姆（Tacom）吊桥在一阵风中被扭断，1965年英国渡桥电厂几座双曲型冷却塔在风压下塌陷等，弹性结构稳定性问题越来越得到普遍重视。20世纪的科学技术，尤其是宇航、航空、精密仪表以及各种大型工程结构的现代设计，遇到了各种类型的稳定性问题。随着材料科学的迅速发展，出现了先进合金材料和复合材料等高强度材料，轻型结构（如薄板、薄壳结构等）的应用日益广泛，弹性系统稳定性研究在近代工程结构设计中也就显得更为重要，并获得迅速的发展。能量法作为研究稳定性问题的第三种方法随着弹性系统稳定性研究的发展得到了非常广泛的应用。1939年，T.von卡门和钱学森等开创性地提出了非线性大挠度理论，得到了柱壳在某些载荷下的非线性解，并从位移载荷解曲线上取得了上下临界载荷值，其结果同当时许多实验结果相近，初步解释了基于线性问题求特征值方法所得到的临界载荷远高于实验结果的矛盾。1945年，W.T.科伊特在研究工程结构缺陷的基础上，提出了“初始缺陷敏感度”概念，并第一次对结构屈曲后的行为进行了一般性的研究，还对临界状态的类型进行了简单的分类，这是对弹性系统稳定性问题定性分类的开始。在卡门和钱学森将非线性理论引入壳体稳定性研究时，就已经意识到结构在加载过程中有不止一个屈曲状态，需要全面进行屈曲后系统行为的研究。直至1965年L.鲍尔和E.L.里斯等才通过数值计算证实了板可以从一个屈曲状态跳跃到另一个不同波形的屈曲状态。弹性系统的稳定性问题本质上是一个非线性问题。随着计算机的发展，在这一时期，人们发展了各种离散化方法（有限元法、有限差分法、边界元法等），以及各种适用于非线性问题的新算法（同伦算法、伪弧长法、修正牛顿法、拟牛顿法、旋转度法、单纯形搜索法等），使得对非线性问题的解曲线进行大范围求解和追踪成为可能。目前，在多重奇点的确定、多重分支的追踪、再分叉的分支追踪等方面均取得重要进展。

基于对非保守力或随时间周期变化的外力作用下的平衡状态稳定性问题的讨论，以及基于20世纪40年代航空中颤振现象的发现和机械工程、电子工程中各种参数激励的非线性振动现象的发现与研究，用动力学观点对弹性系统稳定性的研究发展起来。1956年H.齐格勒列举了一个在随动载荷作用下的压杆，用静力学判据是稳定而按动力学观点则是不稳定的例子，说明了当外力为非保守力时，即使是研究弹性系统的平衡稳定性，也必须从动力学观点来讨论。弹性系统动力稳定性的研究便是在此背景下展开。弹性系统的分叉概念在同一时期也得到了发展，人们不仅考虑静分叉问题，也考虑动分叉问题；不仅考虑一次分叉问题，也考虑再次分叉问题。应当说，H.庞加莱开创的常微分方程定性理论的研究方向对动力系统稳定性与失稳的临界现象、分叉现象的认识起了理论上的指导作用。吸引子的概念、霍普夫分叉现象的发现、向量场在奇点附近的拓扑分类等都是这方面的重要成果，它们都或多或少地被应用于有限自由度弹性系统稳定性的研究中。

20世纪60年代之前，弹性系统稳定性问题常作为有限自由度问题来处理，其后，人们才将弹性系统稳定性问题视为无限自由度即连续系统的稳定性来讨论。国际上出现了一批总结这方面成果的专著与论文，如1971年H.莱普霍尔茨用推广的李雅普诺夫直接法解弹性连续系统的稳定性的专著等。

由于微电子工业、材料工业、生物工程等高技术领域的发展，使得弹性系统稳定性问题的种类更加多样化，随着计算机技术、计算力学、偏微分方程解的定性理论和无限维空间的数学理论的发展和支持，弹性系统稳定性的研究和应用仍将持续、深入、蓬勃地发展。

对于自由度的静力学系统，在状态下系统的广义力，即系统在处于平衡状态。如果对于任意的微小的广义位移改变量，都有，则称系统在平衡状态是稳定的。如果存在某个广义位移的微小改变量使得，则称系统在平衡状态是不稳定的。如果存在某个广义位移改变量使得，且没有一个广义位移改变量使得，则称系统在处于临界状态。静力学稳定性可由静力判据确定，当作用在系统上的广义力是有势的条件下，还可以由能量判据来确定。

对于自由度的力学系统，其满足运动方程和初始条件的解为，而在另一给定初始条件，满足同一运动方程的另一解为，此两解在时刻的距离定义为

如果对于任意，都存在，当后，恒有，则称运动是稳定的，也称之为李雅普诺夫稳定的；如果是李雅普诺夫稳定的，而且存在，只要时就有，则称运动是渐进稳定的；如果不满足以上条件，则称运动是不稳定的。此动力稳定性的严格定义是由李雅普诺夫在1892年给出的。李雅普诺夫第一方法和第二方法（或称直接法）给出了此类稳定性的判别方法。1959年，V.I.祖博夫和A.A.穆尚将李雅普诺夫直接法推广到了连续系统。

弹性系统的稳定性主要是讨论由弹性杆、拱、梁、板和壳等组成的柔性结构的稳定性。丧失线性弹性问题解的唯一性、出现稳定性问题的主要根源在于几何方程的非线性，而从承载情况来看，它们的失稳主要是由弹性系统内的压应力引起的。早期由于计算条件等的限制，一般是采用弹性系统稳定性的线性理论，即列出弹性体的扰动方程的线性化方程，将问题归结为弹性稳定性的本征值问题，即解出偏微分方程的本征值，便可得到弹性结构失稳的临界值，再由特征向量求得近似的屈曲形式。对于许多工程问题，这些结果有一定的参考价值。

弹性系统稳定性的方程本质是非线性的，主要需采用数值方法求解。在用数值方法求解这一非线性问题时，我们可以在一定精度下将其离散为有限维动力系统的运动方程或有限维的静力状态方程。对于自洽的动力系统，我们要寻求满足系统的平衡点，最终也归结于求解非线性方程组，这里是维向量函数，为维广义向量，为维参数向量。大范围非线性问题的数值分析归结为以下基本问题：①实现对解曲线的追踪；②判断和确定解曲线上的奇点（或称分岔点）；③搜索解曲线上分岔点处的分岔方向。