四色定理是对四色猜想的最终解决，而四色问题最早可以追溯到1852年南非数学家F.居特里（Francis Guthrie，1831-01-22～1899-10-19）用4种颜色在地图上给英国各地区染色的问题。居特里问他的哥哥弗雷德里克（Frederick）是否对于任意的地图（任何一个平面分离成连续的区域）都可以用4种颜色染色使得相邻的地区（也即，有公共边界而不是公共点的区域）染不同的颜色。这就是图论中著名的四色问题。这个问题因其表达的简洁性吸引了众多数学家的关注，并且很多人都相信用4种颜色为地图染色是可以实现的。这个猜测也就是著名的四色猜想。

借助上面的定义，四色猜想用图论的语言可以描述如下：每一个没有割边的平面图是4-面可染的。在之后的几十年间，人们为了验证这个猜想进行了大量的尝试。1879年，A.B.肯普（Alfred Bray Kempe，1849-07-06～1922-04-21）发表了四色猜想的“证明”，但在11年后被英国数学家P.J.希伍德（Percy John Heawood，1861-09-08～1955-01-24）指出错误。在1880年，苏格兰数学物理学家P.G.泰特（Peter Guthrie Tait，1831-04-28～1901-07-04）也发表了对四色猜想的“证明”，但也在1891年被丹麦数学家J.彼得森（Julius Petersen，1839-06-16～1910-08-05）发现漏洞。但是这些不完全正确的“证明”也是有意义的，其中肯普证明了每一个平面图都是5-面可染的。P.G.泰特给出了四色定理的一个等价陈述：每一个没有割边的3-正则平面图有一个正常3-边染色(也即，使得任意具有公共端点的边颜色不同的边染色)。直到1976年，美国数学家K.阿佩尔（Kenneth Appel，1932-10-08～2013-04-19）和德国-美国数学家W.哈肯（Wolfgang Haken，1928-06-21～2022-10-02）借助计算机得到了四色猜想的证明，也就得到了著名的四色定理。1997年，N.罗伯逊（Neil Robertson）、美国数学家D.P.桑德斯（Daniel P.Sanders）、英国数学家P.西摩（Paul Seymour，1950-07-26～　　）和R.托马斯（Robin Thomas，1962-08-22～2020-03-26）简化了K.阿佩尔和W.哈肯的证明，但是证明过程仍然借助计算机来实现。

四色问题在图论中扮演着十分重要的角色，其原因在于四色问题与很多不同的有趣的问题有着紧密关联。令人惊奇的是，与四色问题等价的一些问题甚至与染色毫不相关。举个例子来说，四色定理等价于如下命题：每一个2-边连通平面图可以表示成两个偶图的并。

下面的非图论问题也同四色问题等价。考虑表达形式，式中是空间中的任意向量，符号“”表示向量积。由于向量积不满足结合律，为了使得上述表达式有定义，需要将表达式进行合适的划分。

假设给定两种不同的划分，考夫曼（Kauffman）在1990年考虑了如下问题：将单位向量分配给，使得表达式取得相同的非零值是否是可能的。这样的问题能够归结到某一个3-正则平面图的一个正常3-边染色。因此，此问题也是同四色问题等价的。

近些年来，罗伯逊发现了一些相对简单的证明方法来证明四色定理。非常值得一提的是，四色定理的许多等价形式被给出，并且有些等价形式与面染色问题并没有明显的关联。在此介绍两种等价形式：一种基于顶点染色，一种基于边染色。

首先介绍四色定理基于顶点染色的等价形式。一个图的-顶点染色，或简单叫作-染色，是指图的顶点集到一个含有种颜色的颜色集之间的映射。这样的一个顶点染色中，如果任意两个相邻的顶点颜色都不相同，那么这个染色叫作是正常的。一个图叫作是-可染的，如果这个图有一个正常的k-染色。由于一个平面图的相邻的顶点对恰好对应于这个平面图的对偶图中相邻的面对，因此四色问题可以等价地描述为每一个没有自环的平面图是4-可染的。这种基于顶点染色的等价形式的优越性在于可以不参考任何特殊的嵌入而重新描述这个问题。也就是下面给出的顶点形式的四色猜想：每一个没有自环的平面图是4-可染的。要证明每一个没有自环的平面图是4-可染的，显然地，只需要证明所有的简单连通平面图是4-可染的。首先，将四色猜想归结到简单3-连通极大平面图。之后，证明3-连通极大平面图的一个平面嵌入是一个3-连通三角形划分。所以，四色定理有以下等价论断：每一个3-连通三角形划分是4-可染的。再考虑其对偶形式，四色定理又有以下等价论断：每一个3-连通3-正则平面图是4-面可染的。

其次介绍四色定理基于边染色的等价形式。首先给出一些基本定义。图的-边染色，是指图的边集到一个种颜色的颜色集之间的映射。这样的一个边染色中，如果任意两条相邻的边颜色都不相同，那么这个染色叫作是正常的。一个图称为是-边可染的，如果这个图有一个正常的-边染色。1880年，P.G.泰特发现了3-连通3-正则平面图的面染色与边染色之间的惊人的关联，被称为泰特定理：一个3-连通3-正则平面图是4-面可染的当且仅当它是3-边可染的。基于泰特定理，可以给出四色定理基于边染色的等价形式:每一个3-连通3-正则平面图是3-边可染的。

图中的一个支撑圈被称为图的哈密尔顿圈，而包含一个哈密尔顿圈的图被称为是哈密尔顿的。如果一个3-正则图包含一个哈密顿圈，这个圈上的边可以用两种不同的颜色交错染色，剩余的边均是两两不相邻的（因为图是3-正则的），可以染一种新的颜色。这样得到如下结论：哈密顿的3-正则图是3-边可染的。进而，如果能够证明每一个3-连通3-正则平面图是哈密顿的，那么基于边染色的四色定理等价形式也就得到了证明。泰特基于这样的假设试图证明四色猜想的正确性，但最终因在1946年构造出一个非哈密顿的3-连通3-正则平面图而以失败告终。

除了泰特以外，还有很多数学家为四色猜想的证明进行了大量工作。直到现在，数学家们仍在寻求四色定理的一个不借助计算机的纯粹数学的证明。