如果一个复信号的实部和虚部为一对希尔伯特变换（Hilbert transform）对，则称这个信号为解析信号。其形式上的定义如下。若是一个实信号，为的希尔伯特变换，为虚数单位，可构造这样一个复信号：

…（1）

则称为解析信号。

实部和虚部为希尔伯特变换对，可表示为：

…（2）

式中表示希尔伯特变换，系统响应函数为：

…（3）

由式（1）可看出，解析信号由原始函数和其希尔伯特变换两部分构成。对解析信号处理替换对原实信号的处理，基本思想是基于实值函数在频谱上的对称性（埃尔米特对称）。在处理过程中，可认为负频率是多余的。采用复值进行处理，那么直接丢弃负频率分量将不会丢失任何信息，从而获得数学处理方便或其他好处，如降低采样频率或节省一半频带资源等。

寻求解析信号的表示过程中，有了希尔伯特变换的出现。1946年，匈牙利裔物理学家D.伽柏（Dennis Gabor，1900-06-05～1979-02-09），定义了使用复函数表示的尤拉公式（更一般化的欧拉公式），也就是解析信号表达原形。1963年，研究者将解析信号理论用于解决非线性震荡和波形分离。

希尔伯特变换导出了信号的解析表示，意味着将实信号扩展到复平面，使得满足复可微（柯西-黎曼方程）。希尔伯特变换数字化算法的实现为解析信号的广泛应用起到了非常重要的作用。

实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。其基本的思想是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是解析函数），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是相量概念的一个推广：相量限制在时不变的幅度、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

在信号处理理论中可知，对于一个物理可实现的系统必须满足因果性的限制，即系统响应函数应具有这样的性质：

…（4）

理论上可证明，满足这样要求的系统响应函数的实部和虚部有相互制约的确定关系。其实部和虚部为一对希尔伯特变换对，即为的傅里叶变换，有：

…（5）

那么，实部和虚部有如下关系：

…（6）

…（7）

在数学和信号处理领域中，一个实函数的希尔伯特变换是将信号与做卷积运算，而得到。因此，希尔伯特变换结果可以认为是输入信号通过线性时不变系统后的输出，且其系统响应为。这个数学表达方式在通信领域用来描述载波做调制信号的复包络，有着非常重要的应用。

在信号处理中，为了在数学上方便处理，常常使用复信号的处理方法。复信号的实部和虚部正好对应了接收机中的同向和正交支路。对于实信号，频谱有共轭对称性，负频率部分可以由正频率部分完全确定。采用复信号处理，可以丢弃负频率部分，保留下来的正频率部分是原有信号带宽的一半，节省有限的频带资源。同时，由采样定理可知，采样率也可以进一步降低一半，但需要对正交的两路信号进行采样。进而，促进了调制和解调技术的产生。

若是一个实信号，为其傅里叶变换，则其满足埃尔米特对称函数，即：

…（8）

式中为的复共轭。

解析信号的性质主要有以下几点。

①只有正频率，故其傅里叶变换可表示为：

…（9）

式中为的傅里叶变换。

②一个解析信号与另一个解析信号的复共轭卷积恒为零，若和分别为解析信号，则有：

…（10）

③两个解析信号或其复共轭的相关积分恒为零，即：

…（11）

…（12）

加横线表示复共轭。

以欧拉公式的推导为例：

…（13）

则其希尔伯特变换为：

…（14）

则解析表示的信号：

…（15）

上式即为的解析表示，可看出就是欧拉公式。

解析信号被广泛应用于通信系统中，其最典型的一个应用就是信号的调制与解调。这是由于解析信号可以方便地利用极坐标（随时间变化的幅度和相位）来表示。极坐标方便将幅度调制和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。