宇宙中一切物质都在运动、发展和变化。因此，数学中研究变量及变量之间的关系是十分自然的事。观察自然或社会现象可以发现，有些变量依赖于其他变量。如自由落体降落的路程依赖于降落的时间，而一块农田的作物的产量与所施肥料的量有关。在前一个例子中，路程唯一地由时间确定，而在后一个例子中，产量则不能只由施肥量所确定。作为数学概念的函数只表述变量之间的那种确定的依赖关系。因此，自由落体的路程是时间的函数，而农作物产量不是所施肥量的函数。

　　起初人们把函数与常见的表达式联系在一起，认为那种由人们常见的表达式所决定的变量之间的关系才是函数。19世纪30年代，P.G.L.狄利克雷首次给出了函数的一般定义。

　　设及是两个非空的实数集合，并假定变量在集合中变动，而变量在集合中变动。假如有一种法则使得对中的每个，在集合中都有一个确定的与之相对应，则称集合上定义了一个在集合中取值的函数，记作，或。在这里被称为自变量，被称为因变量。与相对应的被称为函数值，记作。集合被称为函数的定义域，而把全体函数值的集合称为的值域，记作。

　　狄利克雷定义了一个函数：它把实数中的每一个有理数对应于1，而把每一个无理数对应于0。这便是著名的狄利克雷函数。

　　由上述定义可以看出，函数本质上是数集（见集合）之间的一种对应（或称为映射）。

　　在平面上取定一个直角坐标系之后，平面上的每一个点都有一个坐标。这时一个函数便在平面上确定了一个集合，其中每一个点都满足关系式。这个集合被称为函数的图形。对于常见的函数，其图形往往是一条曲线，或由几条曲线组成(见图)。

函数的图形示例

　　设有两个函数和且函数的值域包含于的定义域之中。这时，对于中的每一个，经过对应于，再经过又将对应于。这样，就得到一个从到的对应：。这个对应所形成的函数称为与的复合函数。例如，可以看作与的复合。

　　定义在同一个定义域上的两个函数与，可以进行加法运算而得到一个新的函数，它将对应到。类似地，可以定义函数的减法、乘法及除法运算。